Wie vereinfacht man die Quadratwurzel von 95?

Die Primfaktorisierung von #95# ist:

#95 = 5 * 19#

Da dies keine quadratischen Faktoren enthält, #sqrt(95)# ist schon in einfachster Form. Es gibt keine Faktoren, die sich außerhalb des Radikals bewegen lassen.

Als fortgesetzte Fraktion finden wir:

#sqrt(95) = [9;bar(1,2,1,18)] = 9+1/(1+1/(2+1/(1+1/(18+1/(1+1/(2+1/(1+1/(18+...))))))))#

Daher eine effiziente rationale Approximation für #sqrt(95)# ist:

#[9;1,2,1] = 9+1/(1+1/(2+1/1)) = 39/4#

Für eine unterhaltsame Art und Weise bessere Annäherungen zu finden #sqrt(95)#Betrachten Sie das Quadrat mit Nullen #39+4sqrt(95)# und #39-4sqrt(95)#:

#(x-39-4sqrt(39))(x-39+4sqrt(95)) = (x-39)^2-1520#

#color(white)((x-39-4sqrt(39))(x-39+4sqrt(95))) = x^2-78x+1#

Definieren Sie darauf aufbauend eine Folge rekursiv durch:

#{ (a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_(n+2) = 78a_(n+1)-a_n) :}#

Die ersten Begriffe dieser Sequenz sind:

#0, 1, 78, 6083, 474396, 36996805#

Das Verhältnis zwischen aufeinanderfolgenden Begriffen wird sich schnell annähern #39+4sqrt(95)#.

Daher finden wir:

#sqrt(95) ~~ 1/4(36996805/474396 - 39) = 1/4(18495361/474396) = 18495361/1897584#

#color(white)(sqrt(95)) ~~ 9.746794344809#