Wie sieht der Graph der siebten Einheitswurzel auf einem Einheitskreis aus, wie er im beigefügten Bild dargestellt ist?

Antworten:

Es gibt sieben siebte wurzeln der einheit, $e^{ {2pi k i }/7}$ , alle auf dem Einheitskreis, $r=1$ über. Der erste ist bei $theta={2pi}/7 = 360^circ/7 = 51 3/7 ^circ$ und es gibt andere bei ${4pi}/7, {6pi}/7, {8pi}/7, {10 pi}/7, {12 pi}/7$ und natürlich bei $0$ Bogenmaß, dh die Einheit selbst.

Erläuterung:

Eulers Identität zu einer geradzahligen Potenz von $2k$ Erzähl uns

$(e^{i pi})^{2 k} = (-1)^{2k}$

$e^{2pi k i} = 1$

Nun sehen wir

$1^(1/7) = (e^{2pi k i})^{1/7} = e^{ {2pi k i }/7}$

Das sind sieben verschiedene siebte Wurzeln, die durch sieben aufeinanderfolgende gegeben sind $k$ s. (Danach wiederholen sie.)