Wie rechnen Sie mit $x ^ 3 - 1$ ?

Erweiterung nach vorheriger Antwort:

Ich möchte auf eine Idee eingehen, die in der vorherigen Antwort zum Ausdruck kommt

Die Idee von:

$(x^n - 1)/(x-1) = sum_(r=1) ^n x^(n-r)$

oder nicht in Sigma-Notation:

$(x^n -1 )/(x-1) = x^(n-1) + x^(n-2) + ... + x + 1$

Wir können dies durch Induktion beweisen:

Basisfall:

$=> n = 1$

$LHS: (x^1-1)/(x-1) = 1$

$RHS: x^(1-1) = x^0 = 1$

Daher gilt der Basisfall

Induktion:

Annehmen $n=k$ hält:

$(x^k - 1)/(x-1) = sum_(r=1) ^k x^(k-r)$

$n = k+1$ :

$sum_(r=1) ^(k+1) x^(k+1-r) = (sum_(r=1) ^k x^(k+1-r)) +1$

$= x *(sum_(r=1) ^(k) x^(k-r)) + 1$

$= x * ( (x^k -1)/(x-1) ) + 1$

$= (x^(k+1) - x)/(x-1) + 1$

$= (x^(k+1) - x) / (x-1) + (x-1)/(x-1)$

$= (x^(k+1) - 1 )/(x-1)$

Das liefern wir also auch, wenn wir direkt in die Formel einstecken:

Daher gilt für alle $k in ZZ^+$ und all $k+1 in ZZ^+$ das gilt für alle $n in ZZ^+$

$=>$ Bewiesen durch mathematische Induktion

Ich fand das eine gute Idee!

Wie rechnen Sie mit x ^ 3 - 1 x ^ 3 - 1 ?