Wie löst man cscx + cotx = 1 für 0 <= x <= 2pi ?
Betrachten Sie die folgenden Identitäten:
•csctheta = 1/sintheta
•cottheta = 1/(tan theta) = 1/(sintheta/costheta) = costheta/sintheta
Wenn wir diese beiden Identitäten auf die Anfangsgleichung anwenden, haben wir Folgendes:
1/sinx + cosx/sinx = 1
(1 + cosx)/sinx = 1
1 + cosx = sinx
(1 + cosx)^2 = (sinx)^2
1 + 2cosx + cos^2x = sin^2x
cos^2x - sin^2x + 2cosx + 1 = 0
Umwandlung der sin^2x zu 1 - cos^2x in Übereinstimmung mit der pythagoräischen Identität sin^2x + cos^2x = 1:
cos^2x - (1 - cos^2x) + 2cosx + 1 = 0
cos^2x - 1 + cos^2x + 2cosx + 1 = 0
2cos^2x + 2cosx = 0
2cosx(cosx + 1) = 0
cosx = 0 and cosx = -1
x = pi/2, (3pi)/2, pi
Aber, pi ist irrelevant, da dadurch der Nenner gleich Null und damit der Ausdruck undefiniert wird. Das (3pi)/2 ist auch irrelevant, weil es in der Anfangsgleichung nicht funktioniert.
Daher lautet die Lösungsmenge {pi/2}.
Hoffentlich hilft das!