Wie löst man cscx + cotx = 1 für 0 <= x <= 2pi ?

Betrachten Sie die folgenden Identitäten:

csctheta = 1/sintheta

cottheta = 1/(tan theta) = 1/(sintheta/costheta) = costheta/sintheta

Wenn wir diese beiden Identitäten auf die Anfangsgleichung anwenden, haben wir Folgendes:

1/sinx + cosx/sinx = 1

(1 + cosx)/sinx = 1

1 + cosx = sinx

(1 + cosx)^2 = (sinx)^2

1 + 2cosx + cos^2x = sin^2x

cos^2x - sin^2x + 2cosx + 1 = 0

Umwandlung der sin^2x zu 1 - cos^2x in Übereinstimmung mit der pythagoräischen Identität sin^2x + cos^2x = 1:

cos^2x - (1 - cos^2x) + 2cosx + 1 = 0

cos^2x - 1 + cos^2x + 2cosx + 1 = 0

2cos^2x + 2cosx = 0

2cosx(cosx + 1) = 0

cosx = 0 and cosx = -1

x = pi/2, (3pi)/2, pi

Aber, pi ist irrelevant, da dadurch der Nenner gleich Null und damit der Ausdruck undefiniert wird. Das (3pi)/2 ist auch irrelevant, weil es in der Anfangsgleichung nicht funktioniert.

Daher lautet die Lösungsmenge {pi/2}.

Hoffentlich hilft das!