Wie löst man cscx + cotx = 1 cscx+cotx=1 für 0 <= x <= 2pi 0≤x≤2π?
Betrachten Sie die folgenden Identitäten:
•csctheta = 1/sinthetacscθ=1sinθ
•cottheta = 1/(tan theta) = 1/(sintheta/costheta) = costheta/sinthetacotθ=1tanθ=1sinθcosθ=cosθsinθ
Wenn wir diese beiden Identitäten auf die Anfangsgleichung anwenden, haben wir Folgendes:
1/sinx + cosx/sinx = 11sinx+cosxsinx=1
(1 + cosx)/sinx = 11+cosxsinx=1
1 + cosx = sinx1+cosx=sinx
(1 + cosx)^2 = (sinx)^2(1+cosx)2=(sinx)2
1 + 2cosx + cos^2x = sin^2x1+2cosx+cos2x=sin2x
cos^2x - sin^2x + 2cosx + 1 = 0cos2x−sin2x+2cosx+1=0
Umwandlung der sin^2xsin2x zu 1 - cos^2x1−cos2x in Übereinstimmung mit der pythagoräischen Identität sin^2x + cos^2x = 1sin2x+cos2x=1:
cos^2x - (1 - cos^2x) + 2cosx + 1 = 0cos2x−(1−cos2x)+2cosx+1=0
cos^2x - 1 + cos^2x + 2cosx + 1 = 0cos2x−1+cos2x+2cosx+1=0
2cos^2x + 2cosx = 02cos2x+2cosx=0
2cosx(cosx + 1) = 02cosx(cosx+1)=0
cosx = 0 and cosx = -1cosx=0andcosx=−1
x = pi/2, (3pi)/2, pix=π2,3π2,π
Aber, piπ ist irrelevant, da dadurch der Nenner gleich Null und damit der Ausdruck undefiniert wird. Das (3pi)/23π2 ist auch irrelevant, weil es in der Anfangsgleichung nicht funktioniert.
Daher lautet die Lösungsmenge {pi/2}{π2}.
Hoffentlich hilft das!