Wie löst man cscx + cotx = 1 cscx+cotx=1 für 0 <= x <= 2pi 0x2π?

Betrachten Sie die folgenden Identitäten:

csctheta = 1/sinthetacscθ=1sinθ

cottheta = 1/(tan theta) = 1/(sintheta/costheta) = costheta/sinthetacotθ=1tanθ=1sinθcosθ=cosθsinθ

Wenn wir diese beiden Identitäten auf die Anfangsgleichung anwenden, haben wir Folgendes:

1/sinx + cosx/sinx = 11sinx+cosxsinx=1

(1 + cosx)/sinx = 11+cosxsinx=1

1 + cosx = sinx1+cosx=sinx

(1 + cosx)^2 = (sinx)^2(1+cosx)2=(sinx)2

1 + 2cosx + cos^2x = sin^2x1+2cosx+cos2x=sin2x

cos^2x - sin^2x + 2cosx + 1 = 0cos2xsin2x+2cosx+1=0

Umwandlung der sin^2xsin2x zu 1 - cos^2x1cos2x in Übereinstimmung mit der pythagoräischen Identität sin^2x + cos^2x = 1sin2x+cos2x=1:

cos^2x - (1 - cos^2x) + 2cosx + 1 = 0cos2x(1cos2x)+2cosx+1=0

cos^2x - 1 + cos^2x + 2cosx + 1 = 0cos2x1+cos2x+2cosx+1=0

2cos^2x + 2cosx = 02cos2x+2cosx=0

2cosx(cosx + 1) = 02cosx(cosx+1)=0

cosx = 0 and cosx = -1cosx=0andcosx=1

x = pi/2, (3pi)/2, pix=π2,3π2,π

Aber, piπ ist irrelevant, da dadurch der Nenner gleich Null und damit der Ausdruck undefiniert wird. Das (3pi)/23π2 ist auch irrelevant, weil es in der Anfangsgleichung nicht funktioniert.

Daher lautet die Lösungsmenge {pi/2}{π2}.

Hoffentlich hilft das!