Wie löst man # cos (Theta) - sin (Theta) = 1 #?

Wann auch immer #cos(theta) = 1#,

erhalten wir #sin(theta) = +-sqrt(1-cos^2theta) = 0#

und #cos(theta)-sin(theta) = 1 - 0 = 1#.

#cos(theta) = 1# in #theta = 2npi# für alle #n in ZZ#.

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Wann auch immer #sin(theta) = -1#,

erhalten wir #cos(theta) = +-sqrt(1-sin^2theta) = 0#

und #cos(theta)-sin(theta) = 0 - (-1) = 1#.

#sin(theta) = -1# in #theta = -pi/2+2npi# für alle #n in ZZ#.

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Wenn wir zwei Fälle zusammenfassen, haben wir Lösungen, wenn:

#theta = 2npi# für alle #n in ZZ#

und wann

#theta = -pi/2 + 2npi# für alle #n in ZZ#

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So stellen Sie sicher, dass dies die einzigen Lösungen sind:

Beginnen mit #cos(theta)-sin(theta)=1#zuerst hinzufügen #sin(theta)# zu beiden Seiten:

#cos(theta)=sin(theta)+1#

Dann kreuzen Sie beide Seiten an:

#cos^2(theta)=sin^2(theta)+2sin(theta)+1#

Dann benutze #cos^2(theta)=1-sin^2(theta)# bekommen:

#1-sin^2(theta)=sin^2(theta)+2sin(theta)+1#

Add #sin^2(theta)-1# an beide seiten zu bekommen:

#0=2sin^2(theta)+2sin(theta)=2sin(theta)(sin(theta)+1)#

Also entweder #sin(theta) = 0# or #sin(theta) = -1#

Wir haben bereits abgerechnet #sin(theta) = -1# in unseren Lösungen.

Wie wäre es mit #sin(theta) = 0#?

Wenn dem so ist, dann

#cos^2(theta) = 1 - sin^2(theta) = 1 - 0 = 1#

So #cos(theta) = +-sqrt(1) = +-1#

Nur der Fall #cos(theta) = 1# erfüllt #cos(theta)-sin(theta) = 1# und das haben wir auch schon berücksichtigt.

Wir haben also alle Lösungen gefunden.