Wie löst man $cos (Theta) - sin (Theta) = 1$ ?

Wann auch immer $cos(theta) = 1$ ,

erhalten wir $sin(theta) = +-sqrt(1-cos^2theta) = 0$

und $cos(theta)-sin(theta) = 1 - 0 = 1$ .

$cos(theta) = 1$ in $theta = 2npi$ für alle $n in ZZ$ .

Wann auch immer $sin(theta) = -1$ ,

erhalten wir $cos(theta) = +-sqrt(1-sin^2theta) = 0$

und $cos(theta)-sin(theta) = 0 - (-1) = 1$ .

$sin(theta) = -1$ in $theta = -pi/2+2npi$ für alle $n in ZZ$ .

Wenn wir zwei Fälle zusammenfassen, haben wir Lösungen, wenn:

$theta = 2npi$ für alle $n in ZZ$

und wann

$theta = -pi/2 + 2npi$ für alle $n in ZZ$

So stellen Sie sicher, dass dies die einzigen Lösungen sind:

Beginnen mit $cos(theta)-sin(theta)=1$ zuerst hinzufügen $sin(theta)$ zu beiden Seiten:

$cos(theta)=sin(theta)+1$

Dann kreuzen Sie beide Seiten an:

$cos^2(theta)=sin^2(theta)+2sin(theta)+1$

Dann benutze $cos^2(theta)=1-sin^2(theta)$ bekommen:

$1-sin^2(theta)=sin^2(theta)+2sin(theta)+1$

Add $sin^2(theta)-1$ an beide seiten zu bekommen:

$0=2sin^2(theta)+2sin(theta)=2sin(theta)(sin(theta)+1)$

Also entweder $sin(theta) = 0$ or $sin(theta) = -1$

Wir haben bereits abgerechnet $sin(theta) = -1$ in unseren Lösungen.

Wie wäre es mit $sin(theta) = 0$ ?

Wenn dem so ist, dann

$cos^2(theta) = 1 - sin^2(theta) = 1 - 0 = 1$

So $cos(theta) = +-sqrt(1) = +-1$

Nur der Fall $cos(theta) = 1$ erfüllt $cos(theta)-sin(theta) = 1$ und das haben wir auch schon berücksichtigt.

Wir haben also alle Lösungen gefunden.

Wie löst man cos (Theta) - sin (Theta) = 1 cos (Theta) - sin (Theta) = 1 ?