Wie löse ich die beste Punktschätzung für den Populationsmittelwert und berechne die Fehlerquote? Dabei ergab eine Zufallsstichprobe von n = 75-Beobachtungen aus einer quantitativen Population einen Mittelwert von 29.7 und s = 3.286

Antworten:

Die Fehlerquote ist $\approx 0.7560$ $~~0.7560$ .

Erläuterung:

Die beste Punktschätzung für einen Bevölkerungsmittelwert $μ$ $mu$ ist der Stichprobenmittelwert $¯ x$ $barx$ . In diesem Fall hätten wir die Punktschätzung

$ˆ μ = ¯ x = 29.7$ $hatmu = barx=29.7$

Die Fehlertoleranz ist ein Maximalwert dafür, wie weit $ˆ μ$ $hatmu$ wird aus $μ,$ $mu,$ basierend auf einem Vertrauensniveau $α .$ $alpha.$ Zum Beispiel, wenn $α = 0.05,$ $alpha = 0.05,$ dann gibt es eine 95% Chance unsere $ˆ μ$ $hatmu$ wird innerhalb der Fehlergrenze der tatsächlichen Bevölkerung liegen $μ .$ $mu.$

Die Formel für eine Fehlertoleranz (ME) für einen Stichprobenmittelwert lautet:

$ME = t_{α / 2, n - 1} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$ $"ME"=t_(alpha//2, n-1)xxs/sqrtn$

oder wenn $n$ $n$ ist groß genug:

$ME = z_{α / 2} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$ $"ME"=z_(alpha//2)xxs/sqrtn$

(Dies liegt daran, als $n \to \infty$ $nrarroo$ , die $t$ $t$ Verteilung mit $n - 1$ $n-1$ Freiheitsgrade nähert die Standardnormalverteilung $Z$ $Z$ .)

Verwenden Sie die erste Option mit $α = 0.05$ $alpha = 0.05$ , wir bekommen:

$ME = t_{0.05 / 2, 75 - 1} \times \frac{3.286}{\sqrt{75}}$ $"ME"=t_(0.05//2," " 75-1)xx3.286/sqrt75$

$ME \approx t_{0.025, 74} \times \frac{3.286}{8.6603}$ $color(white)"ME"~~t_(0.025,74)xx3.286/(8.6603)$

$ME \approx 1.9925 \times 0.3794$ $color(white)"ME"~~1.9925xx0.3794$

$ME \approx 0.7560$ $color(white)"ME"~~0.7560$

Mit der zweiten Option (wieder mit $α = 0.05$ $alpha=0.05$ ), wir bekommen:

$ME = z_{0.05 / 2} \times \frac{3.286}{\sqrt{75}}$ $"ME"=z_(0.05//2)xx3.286/sqrt75$

$ME \approx z_{0.025} \times \frac{3.286}{8.6603}$ $color(white)"ME"~~z_(0.025)xx3.286/(8.6603)$

$ME \approx 1.9600 \times 0.3794$ $color(white)"ME"~~1.9600xx0.3794$

$ME \approx 0.7437$ $color(white)"ME"~~0.7437$

Wie Sie sehen können, geben beide Methoden fast den gleichen Wert an (0.7560 und 0.7437 unterscheiden sich in etwa von 0.013). Aus diesem Grund verwenden wir oft nur die zweite Formel, da es einfacher ist, Werte für zu finden $z_{α / 2} .$ $z_(alpha//2).$ Die erste Option ist jedoch genauer, da die Verteilung von $¯ ¯ ¯ X$ $barX$ ist näher an $t$ $t$ als zu $Z,$ $Z,$ und es wird immer einen größeren Spielraum für Fehler geben, und daher ist es ein bisschen sicherer.