Wie kann man das Trägheitsmoment eines Vollzylinders um die Querachse (senkrecht) ermitteln, die durch sein Zentrum verläuft?

Abbildung 1.

Betrachten wir einen Zylinder der Länge #L#, Masse #M#und Radius #R# so platziert, dass #z# Achse ist entlang seiner Mittelachse wie in der Figur.
Wir wissen, dass seine Dichte #rho="Mass"/"Volume"=M/V#.

Abbildung 2.

Angenommen, der Zylinder besteht aus unendlich dünnen Scheiben mit einer Dicke von jeweils 1 mm #dz#. Wenn #dm# ist dann die Masse einer solchen Scheibe
#dm=rho times "Volume of disk"#

or #dm=M/V times (pi R^2.dz)#,
da #V="Areal of circular face"xx"length"=pi R^2L#, wir erhalten
#dm=M/(pi R^2L) times (pi R^2.dz)#

or #dm=M/Ldz# ...... (1)
Schritt 1.

Wir kennen diesen Trägheitsmoment einer kreisförmigen Massenscheibe #m# und vom Radius #R# um seine Mittelachse ist das gleiche wie für einen Massenzylinder #M# und Radius #R# und ist durch die Gleichung gegeben
#I_z=1/2mR^2#. In unserem Fall

#dI_z=1/2dmR^2#...... (2)
Schritt 2.

Beachten Sie aus Abbildung 2, dass dieses Trägheitsmoment ungefähr berechnet wurde #z# Achse. In dem Problem müssen wir das Trägheitsmoment um die Querachse (senkrecht) finden, die durch sein Zentrum verläuft. Da wir wissen, dass die gewünschte Rotationsachse quer verläuft, müssen wir den Satz der senkrechten Achse anwenden, der besagt:

Das Trägheitsmoment um eine Achse, die senkrecht zur Ebene der beiden verbleibenden Achsen steht, ist die Summe der Trägheitsmomente um diese beiden senkrechten Achsen durch denselben Punkt in der Ebene des Objekts.
Es folgt dem
#dI_z=dI_x+dI_y# ..... (3)
Auch aus der Symmetrie sehen wir das Trägheitsmoment etwa #x# Achse muss gleich Trägheitsmoment sein #y# Achse.
#:. dI_x=dI_y# ...... (4)
Durch Kombination der Gleichungen (3) und (4) erhalten wir
#dI_x=(dI_z)/2#, Ersetzen #I_z# von (2) bekommen wir
#dI_x=1/2xx1/2dmR^2#

or #dI_x=1/4dmR^2#

Lassen Sie die infinitesimale Scheibe in einiger Entfernung liegen #z# vom Ursprung, der mit dem Schwerpunkt zusammenfällt.

Nun verwenden wir den Satz der parallelen Achse über die #x# Achse, die besagt:

Das Trägheitsmoment um eine Achse parallel zu dieser Achse durch den Schwerpunkt ist gegeben durch

#I_"Parallel axis"=I_"Center of Mass"+"Mass"times"d^2#
woher #d# Abstand der parallelen Achse vom Schwerpunkt.
#dI_x=1/4dmR^2+dmz^2# ...... (5)
Schritt 3.
Geben Sie den Wert von ein #dm# berechnet in (1) im Moment der Trägheitsgleichung (5), um es in Termen von auszudrücken #z# Integrieren Sie dann über die Länge des Zylinders den Wert von #z=-L/2# zu #z=+L/2#
#I_x=int_(-L/2)^(+L/2)dI_x=int_(-L/2)^(+L/2)1/4M/LdzR^2+int_(-L/2)^(+L/2)z^2 M/Ldz#
#I_x=1/4M/LR^2z+M/L z^3/3]_(-L/2)^(+L/2)#,
Ignorieren der Integrationskonstante, weil sie ein bestimmtes Integral ist.

#I_x=1/4M/LR^2[L/2-(-L/2)]+M/(3L) [(L/2)^3-(-L/2)^3]#

or #I_x=1/4M/LR^2L+M/(3L) (2L^3)/2^3 #

or #I_x=1/4MR^2+1/12M L^2 #