Wie finden Sie die Quadratwurzel von 7?

Antworten:

#sqrt(7) ~~ 2.645751311#

Erläuterung:

Da #7# ist eine Primzahl, sie hat keine quadratischen Faktoren und ihre Quadratwurzel kann nicht vereinfacht werden.

Es ist eine irrationale Zahl, kann also nicht genau durch dargestellt werden #p/q# für alle ganzen Zahlen #p, q#.

Wir können jedoch gute rationale finden Annäherungen zu #sqrt(7)#.

Beachten Sie zuerst, dass:

#8^2 = 64 = 63+1 = 7*3^2 + 1#

Dies ist in Pells Gleichungsform:

#p^2 = n q^2 + 1#

mit #n = 7#, #p = 8# und #q = 3#.

Dies bedeutet, dass #8/3# ist eine ökonomische Annäherung für #sqrt(7)# und es bedeutet auch, dass wir verwenden können #8/3# die fortgesetzte Fraktion Expansion von abzuleiten #sqrt(7)#:

#8/3 = 2 + 1/(1+1/(1+1/1))#

und daher können wir folgern:

#sqrt(7) = [2;bar(1,1,1,4)] = 2 + 1/(1+1/(1+1/(1+1/(4+1/(1+1/(1+1/(1+1/(4+...))))))))#

Die nächste wirtschaftliche Annäherung ergibt sich durch Abschneiden der fortgesetzten Fraktionsexpansion kurz vor der nächsten #4#, Ie

#sqrt(7) ~~ [2;1,1,1,4,1,1,1] = 2 + 1/(1+1/(1+1/(1+1/(4+1/(1+1/(1+1/1)))))) = 127/48 = 2.6458bar(3)#

Dies ist auch eine Lösung der Pellschen Gleichung für #7#, da wir finden:

#127^2 = 16129 = 16128+1 = 7*48^2+1#

Wenn Sie mehr Genauigkeit wünschen, kürzen Sie kurz vor dem nächsten #4# oder der nach.

Durch Aufweiten des sich wiederholenden Teils der fortgesetzten Fraktion z #sqrt(7)# Wir können einen verallgemeinerten fortgesetzten Bruch ableiten:

#sqrt(7) = 21/8+(7/64)/(21/4+(7/64)/(21/4+(7/64)/(21/4+(7/64)/(21/4+...))))#

Mit einem Taschenrechner finden wir:

#sqrt(7) ~~ 2.645751311#

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