Wie finden Sie die Quadratwurzel von 7?

Antworten:

$sqrt(7) ~~ 2.645751311$

Erläuterung:

Da $7$ ist eine Primzahl, sie hat keine quadratischen Faktoren und ihre Quadratwurzel kann nicht vereinfacht werden.

Es ist eine irrationale Zahl, kann also nicht genau durch dargestellt werden $p/q$ für alle ganzen Zahlen $p, q$ .

Wir können jedoch gute rationale finden Annäherungen zu $sqrt(7)$ .

Beachten Sie zuerst, dass:

$8^2 = 64 = 63+1 = 7*3^2 + 1$

Dies ist in Pells Gleichungsform:

$p^2 = n q^2 + 1$

mit $n = 7$ , $p = 8$ und $q = 3$ .

Dies bedeutet, dass $8/3$ ist eine ökonomische Annäherung für $sqrt(7)$ und es bedeutet auch, dass wir verwenden können $8/3$ die fortgesetzte Fraktion Expansion von abzuleiten $sqrt(7)$ :

$8/3 = 2 + 1/(1+1/(1+1/1))$

und daher können wir folgern:

$sqrt(7) = [2;bar(1,1,1,4)] = 2 + 1/(1+1/(1+1/(1+1/(4+1/(1+1/(1+1/(1+1/(4+...))))))))$

Die nächste wirtschaftliche Annäherung ergibt sich durch Abschneiden der fortgesetzten Fraktionsexpansion kurz vor der nächsten $4$ , Ie

$sqrt(7) ~~ [2;1,1,1,4,1,1,1] = 2 + 1/(1+1/(1+1/(1+1/(4+1/(1+1/(1+1/1)))))) = 127/48 = 2.6458bar(3)$

Dies ist auch eine Lösung der Pellschen Gleichung für $7$ , da wir finden:

$127^2 = 16129 = 16128+1 = 7*48^2+1$

Wenn Sie mehr Genauigkeit wünschen, kürzen Sie kurz vor dem nächsten $4$ oder der nach.

Durch Aufweiten des sich wiederholenden Teils der fortgesetzten Fraktion z $sqrt(7)$ Wir können einen verallgemeinerten fortgesetzten Bruch ableiten:

$sqrt(7) = 21/8+(7/64)/(21/4+(7/64)/(21/4+(7/64)/(21/4+(7/64)/(21/4+...))))$

Mit einem Taschenrechner finden wir:

$sqrt(7) ~~ 2.645751311$