Wie finden Sie die Quadratwurzel von 23?

Antworten:

#sqrt(23) ~~ 1151/240 = 4.7958bar(3)#

Erläuterung:

#23# ist eine Primzahl, daher ist es nicht möglich, ihre Quadratwurzel zu vereinfachen, die eine irrationale Zahl ist, die etwas kleiner ist als #5 = sqrt(25)#

Als solches ist es in der Form nicht ausdrückbar #p/q# für ganze Zahlen #p, q#.

Wir können rational finden Annäherungen wie folgt:

#23 = 5^2-2#

ist in der Form #n^2-2#

Die Quadratwurzel einer Zahl der Form #n^2-2# kann als fortgesetzter Bruchteil der Standardform ausgedrückt werden:

#sqrt(n^2-2) = [(n-1); bar(1, (n-2), 1, (2n-2))]#

In unserem Beispiel #n=5# und wir finden:

#sqrt(23) = [4; bar(1,3,1,8)] = 4+1/(1+1/(3+1/(1+1/(8+1/(1+1/(3+1/(1+...)))))))#

Verwenden Sie dies, um eine gute Näherung für abzuleiten #sqrt(23)# Beende es vorzeitig, kurz bevor einer der #8#'s. Beispielsweise:

#sqrt(23) ~~ [4;1,3,1,8,1,3,1] = 4+1/(1+1/(3+1/(1+1/(8+1/(1+1/(3+1/1)))))) = 1151/240 = 4.7958bar(3)#

Mit einem Taschenrechner finden wir:

#sqrt(23) ~~ 4.79583152#

Unsere Annäherung ist also nicht schlecht.

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