Wie finden Sie die Quadratwurzel von 23?

Antworten:

$\sqrt{23} \approx \frac{1151}{240} = 4.7958 ¯ 3$ $sqrt(23) ~~ 1151/240 = 4.7958bar(3)$

Erläuterung:

$23$ $23$ ist eine Primzahl, daher ist es nicht möglich, ihre Quadratwurzel zu vereinfachen, die eine irrationale Zahl ist, die etwas kleiner ist als $5 = \sqrt{25}$ $5 = sqrt(25)$

Als solches ist es in der Form nicht ausdrückbar $\frac{p}{q}$ $p/q$ für ganze Zahlen $p, q$ $p, q$ .

Wir können rational finden Annäherungen wie folgt:

$23 = 5^{2} - 2$ $23 = 5^2-2$

ist in der Form $n^{2} - 2$ $n^2-2$

Die Quadratwurzel einer Zahl der Form $n^{2} - 2$ $n^2-2$ kann als fortgesetzter Bruchteil der Standardform ausgedrückt werden:

$\sqrt{n^{2} - 2} = [(n - 1); ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 1, (n - 2), 1, (2 n - 2)]$ $sqrt(n^2-2) = [(n-1); bar(1, (n-2), 1, (2n-2))]$

In unserem Beispiel $n = 5$ $n=5$ und wir finden:

$sqrt(23) = [4; bar(1,3,1,8)] = 4+1/(1+1/(3+1/(1+1/(8+1/(1+1/(3+1/(1+...)))))))$

Verwenden Sie dies, um eine gute Näherung für abzuleiten $sqrt(23)$ Beende es vorzeitig, kurz bevor einer der $8$ 's. Beispielsweise:

$sqrt(23) ~~ [4;1,3,1,8,1,3,1] = 4+1/(1+1/(3+1/(1+1/(8+1/(1+1/(3+1/1)))))) = 1151/240 = 4.7958bar(3)$

Mit einem Taschenrechner finden wir:

$sqrt(23) ~~ 4.79583152$

Unsere Annäherung ist also nicht schlecht.