Wie finden Sie die Quadratwurzel von 2000?

Antworten:

#sqrt(2000) = 20 sqrt(5) = 20 [2;bar(4)] ~~ 44.7#

Erläuterung:

If #a, b >= 0# dann #sqrt(ab) = sqrt(a)sqrt(b)#

Damit:

#sqrt(2000) = sqrt(400*5) = sqrt(400)*sqrt(5) = 20sqrt(5)#

Da #5 = 2^2+1# ist von der Form #n^2+1#, #sqrt(5)# hat eine einfache Erweiterung als fortgesetzte Fraktion:

#sqrt(5) = [2;bar(4)] = 2 + 1/(4+1/(4+1/(4+1/(4+...))))#

Je nachdem, wie genau eine Näherung sein soll, können wir diesen fortgesetzten Bruch mehr oder weniger terminieren.

Beispielsweise:

#sqrt(5) ~~ [2;4,4] = 2+1/(4+1/4) = 2 + 4/17 = 38/17#

Damit:

#sqrt(2000) = 20 sqrt(5) ~~ 20*38/17 ~~ 44.71#

Tatsächlich:

#sqrt(2000) ~~ 44.72135954999579392818#

Als eine andere Möglichkeit zur Berechnung der aufeinanderfolgenden Annäherungen, die der fortgesetzte Bruch liefert, betrachten Sie die folgende Reihenfolge:

#0, 1, 4, 17, 72, 305,...#

woher #a_1 = 0#, #a_2 = 1#, #a_(i+2) = a_i + 4a_(i+1)#

Dies ähnelt der Fibonacci-Sequenz, mit der Ausnahme, dass dies die Regel ist #a_(i+2) = a_i + bb(4)a_(i+1)# statt #a_(i+2) = a_i + a_(i+1)#.

Dies hängt stark mit der fortgesetzten Fraktion zusammen:

#[4;bar(4)] = 4+1/(4+1/(4+1/(4+1/(4+...))))#

Das Verhältnis zwischen aufeinanderfolgenden Termen der Sequenz tendiert dazu #2+sqrt(5)# (etwas schneller als die Fibonacci - Sequenz #1/2+sqrt(5)/2#)

Zum Beispiel können wir eine Annäherung für finden #sqrt(5)# :

#305/72 - 2 = 161/72#

Daher #sqrt(2000) ~~ 20*161/72 = 3220/72 = 44.7dot(2)#

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