Wie finden Sie die Quadratwurzel von 2000?

Antworten:

$sqrt(2000) = 20 sqrt(5) = 20 [2;bar(4)] ~~ 44.7$

Erläuterung:

If $a, b >= 0$ dann $sqrt(ab) = sqrt(a)sqrt(b)$

Damit:

$sqrt(2000) = sqrt(400*5) = sqrt(400)*sqrt(5) = 20sqrt(5)$

Da $5 = 2^2+1$ ist von der Form $n^2+1$ , $sqrt(5)$ hat eine einfache Erweiterung als fortgesetzte Fraktion:

$sqrt(5) = [2;bar(4)] = 2 + 1/(4+1/(4+1/(4+1/(4+...))))$

Je nachdem, wie genau eine Näherung sein soll, können wir diesen fortgesetzten Bruch mehr oder weniger terminieren.

Beispielsweise:

$sqrt(5) ~~ [2;4,4] = 2+1/(4+1/4) = 2 + 4/17 = 38/17$

Damit:

$sqrt(2000) = 20 sqrt(5) ~~ 20*38/17 ~~ 44.71$

Tatsächlich:

$sqrt(2000) ~~ 44.72135954999579392818$

Als eine andere Möglichkeit zur Berechnung der aufeinanderfolgenden Annäherungen, die der fortgesetzte Bruch liefert, betrachten Sie die folgende Reihenfolge:

$0, 1, 4, 17, 72, 305,...$

woher $a_1 = 0$ , $a_2 = 1$ , $a_(i+2) = a_i + 4a_(i+1)$

Dies ähnelt der Fibonacci-Sequenz, mit der Ausnahme, dass dies die Regel ist $a_(i+2) = a_i + bb(4)a_(i+1)$ statt $a_(i+2) = a_i + a_(i+1)$ .

Dies hängt stark mit der fortgesetzten Fraktion zusammen:

$[4;bar(4)] = 4+1/(4+1/(4+1/(4+1/(4+...))))$

Das Verhältnis zwischen aufeinanderfolgenden Termen der Sequenz tendiert dazu $2+sqrt(5)$ (etwas schneller als die Fibonacci - Sequenz $1/2+sqrt(5)/2$ )

Zum Beispiel können wir eine Annäherung für finden $sqrt(5)$ :

$305/72 - 2 = 161/72$

Daher $sqrt(2000) ~~ 20*161/72 = 3220/72 = 44.7dot(2)$