Wie finden Sie die Quadratwurzel von 15?

Antworten:

$sqrt(15)$ ist nicht zu vereinfachen.

Wir können rationale Annäherungen finden $31/8$ , $244/63$

Erläuterung:

$15=3xx5$ hat keine quadratischen Faktoren, also $sqrt(15)$ kann nicht vereinfacht werden.

Es ist nicht als rationale Zahl auszudrücken. Es ist eine irrationale Zahl etwas weniger als $4$ .

Da $15 = 4^2-1$ ist von der Form $n^2-1$ , $sqrt(15)$ hat eine ziemlich einfache Fortsetzung der Fraktion Expansion:

$sqrt(15) = [3;bar(1,6)] = 3+1/(1+1/(6+1/(1+1/(6+1/(1+1/(6+1/(1+...)))))))$

Wir können diese fortgesetzte Bruchexpansion früh abschneiden, um rational zu werden Annäherungen zu $sqrt(15)$ .

Beispielsweise:

$sqrt(15) ~~ [3;1,6,1] = 3+1/(1+1/(6+1/1)) = 3+1/(1+1/7) = 3+7/8 = 31/8 = 3.875$

$sqrt(15) ~~ [3;1,6,1,6,1] = 3+1/(1+1/(6+1/(1+1/(6+1/1)))) = 3+1/(1+1/(6+1/(1+1/7)))$

$= 3+1/(1+1/(6+7/8)) = 3+1/(1+8/55) = 3+55/63 = 244/63 = 3.bar(873015)$

Tatsächlich:

$sqrt(15) ~~ 3.87298334620741688517$