Wie finden Sie die beiden positiven reellen Zahlen, deren Summe 40 und deren Produkt maximal ist?

Das Problem besagt, dass wir nach zwei Zahlen suchen #x# und #y# sowie #x+y=40#, das ist

#y=40-x#

Wir würden gerne herausfinden, wo das Produkt ist #x*y# ist maximal, aber aus der obigen Gleichung können wir schreiben:

#x*y=x*(40-x) = -x^2+40x#.

Wir haben also jetzt eine Ein-Variablen-Funktion #f(x)=-x^2+40x#, und muss einen positiven Wert von finden #x# wo die funktion #f# erreicht ein Maximum.

Dazu berechnen wir die Ableitung #f'(x)=-2x+40#und wir suchen nach Werten von #x# woher #f'(x)=-2x+40=0#. Es gibt nur einen solchen Wert (kritischer Punkt) mit #x=20#.

Nun die zweite Ableitung #f''(x)=-2# ist überall negativ und daher am kritischen Punkt negativ #x=20#. Daher, #x=20# ist ein Maximum für #f#.

Das wissen wir aber auch #y=40-x#, also der Wert von #y# ist auch #20#.

Die Lösung ist dann #x=20, y=20#