Wie finden Sie die beiden positiven reellen Zahlen, deren Summe 40 und deren Produkt maximal ist?

Antworten:

Sie müssen zuerst eine Funktion finden, die das angegebene Problem darstellt, und dann ein Maximum dieser Funktion finden

Erläuterung:

Das Problem besagt, dass wir nach zwei Zahlen suchen $x$ und $y$ sowie $x+y=40$ , das ist

$y=40-x$

Wir würden gerne herausfinden, wo das Produkt ist $x*y$ ist maximal, aber aus der obigen Gleichung können wir schreiben:

$x*y=x*(40-x) = -x^2+40x$ .

Wir haben also jetzt eine Ein-Variablen-Funktion $f(x)=-x^2+40x$ , und muss einen positiven Wert von finden $x$ wo die funktion $f$ erreicht ein Maximum.

Dazu berechnen wir die Ableitung $f'(x)=-2x+40$ und wir suchen nach Werten von $x$ woher $f'(x)=-2x+40=0$ . Es gibt nur einen solchen Wert (kritischer Punkt) mit $x=20$ .

Nun die zweite Ableitung $f''(x)=-2$ ist überall negativ und daher am kritischen Punkt negativ $x=20$ . Daher, $x=20$ ist ein Maximum für $f$ .

Das wissen wir aber auch $y=40-x$ , also der Wert von $y$ ist auch $20$ .

Die Lösung ist dann $x=20, y=20$