Was sind die wahrscheinlichste Geschwindigkeit und die Durchschnittsgeschwindigkeit für ein System, das der Maxwell-Boltzmann-Verteilung folgt?

Das Diagramm der Maxwell-Geschwindigkeitsverteilung und typische Geschwindigkeiten sind in der folgenden Abbildung dargestellt.

casper.berkeley.edu
Befindet sich ein gasförmiges System im thermischen Gleichgewicht, können wir die Maxwell-Boltzmann-Statistik verwenden, die die Wahrscheinlichkeit angibt, dass sich das Partikel bei einer bestimmten Temperatur in einem Energiezustand befindet.

Es gibt drei Möglichkeiten, typische Geschwindigkeiten einer Partikelverteilung im thermischen Gleichgewicht zu quantifizieren.

  1. Die erste typische Geschwindigkeit ist am einfachsten zu berechnen und wird als bezeichnet wahrscheinlichste Geschwindigkeit #tilde {v}#. Die Geschwindigkeit am oberen Rand der Kurve ist die wahrscheinlichste Geschwindigkeit, da die größte Anzahl von Molekülen diese Geschwindigkeit aufweist. Um dies zu berechnen, setzen wir die erste Ableitung in Bezug auf die Geschwindigkeit #v# der Funktion #f(v)# gleich #0#.
    Im obigen Diagramm ist es mit einer rot gepunkteten Linie dargestellt.
  2. Die zweite ist die mittlere Geschwindigkeit oder Durchschnittsgeschwindigkeit, #barv#. Durchschnittsgeschwindigkeit ist die Verschiebung über die Gesamtzeit. Wir berechnen den Erwartungswert von #v#

    #barv=int_0^oo f(v)vdv#
    It can be shown as #barv# is slightly greater than the most probably velocity #tilde {v}#.
    This is indicated as green dotted line.

  3. Die dritte ist die quadratische Durchschnittsgeschwindigkeit #v_(rms)#(Der Vollständigkeit halber eingeschlossen). Es wird durch den Ausdruck definiert

    #v_(rms)^2-=bar(v^2)=int_0^oo f(v)v^2dv#
    It can be shown as that root mean square velocity is greater than both the other two velocities.
    This is depicted as blue dotted line.

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