Was ist die Quadratwurzel von 90?

#sqrt(90) = sqrt(3^2*10) = 3sqrt(10)# ist eine irrationale Zahl irgendwo dazwischen #sqrt(81)=9# und #sqrt(100) = 10#.

In der Tat seit #90 = 9 * 10# ist von der Form #n(n+1)# es kommt zu einer regelmäßigen weiteren fraktionellen Ausdehnung der Form #[n;bar(2,2n)]#:

#sqrt(90) = [9;bar(2,18)] = 9+1/(2+1/(18+1/(2+1/(18+1/(2+1/(18+...))))))#

Eine unterhaltsame Möglichkeit, rationale Approximationen zu finden, ist die Verwendung einer durch eine lineare Wiederholung definierten Ganzzahlsequenz.

Betrachten Sie die quadratische Gleichung mit Nullen #19+2sqrt(90)# und #19-2sqrt(90)#:

#0 = (x-19-2sqrt(90))(x-19+2sqrt(90))#

#color(white)(0) =(x-19)^2-(2sqrt(90))^2#

#color(white)(0) =x^2-38x+361-360#

#color(white)(0) =x^2-38x+1#

Damit:

#x^2 = 38x-1#

Verwenden Sie dies, um eine Sequenz abzuleiten:

#{ (a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_(n+2) = 38a_(n+1)-a_n) :}#

Die ersten Begriffe dieser Sequenz sind:

#0, 1, 38, 1443, 54796, 2080805,...#

Das Verhältnis zwischen aufeinanderfolgenden Begriffen wird dazu neigen #19+2sqrt(90)#

Daher:

#sqrt(90) ~~ 1/2(2080805/54796-19) = 1/2(1039681/54796) = 1039681/109592 ~~ 9.48683298051#