Was ist die Quadratwurzel von 90?

Antworten:

$\sqrt{90} = 3 \sqrt{10} \approx \frac{1039681}{109592} \approx 9.48683298051$ $sqrt(90) = 3sqrt(10) ~~ 1039681/109592 ~~ 9.48683298051$

Erläuterung:

$\sqrt{90} = \sqrt{3^{2} \cdot 10} = 3 \sqrt{10}$ $sqrt(90) = sqrt(3^2*10) = 3sqrt(10)$ ist eine irrationale Zahl irgendwo dazwischen $\sqrt{81} = 9$ $sqrt(81)=9$ und $\sqrt{100} = 10$ $sqrt(100) = 10$ .

In der Tat seit $90 = 9 \cdot 10$ $90 = 9 * 10$ ist von der Form $n (n + 1)$ $n(n+1)$ es kommt zu einer regelmäßigen weiteren fraktionellen Ausdehnung der Form $[n; ¯ ¯¯¯¯¯¯ ¯ 2, 2 n]$ $[n;bar(2,2n)]$ :

$sqrt(90) = [9;bar(2,18)] = 9+1/(2+1/(18+1/(2+1/(18+1/(2+1/(18+...))))))$

Eine unterhaltsame Möglichkeit, rationale Approximationen zu finden, ist die Verwendung einer durch eine lineare Wiederholung definierten Ganzzahlsequenz.

Betrachten Sie die quadratische Gleichung mit Nullen $19+2sqrt(90)$ und $19-2sqrt(90)$ :

$0 = (x-19-2sqrt(90))(x-19+2sqrt(90))$

$color(white)(0) =(x-19)^2-(2sqrt(90))^2$

$color(white)(0) =x^2-38x+361-360$

$color(white)(0) =x^2-38x+1$

Damit:

$x^2 = 38x-1$

Verwenden Sie dies, um eine Sequenz abzuleiten:

${ (a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_(n+2) = 38a_(n+1)-a_n) :}$

Die ersten Begriffe dieser Sequenz sind:

$0, 1, 38, 1443, 54796, 2080805,...$

Das Verhältnis zwischen aufeinanderfolgenden Begriffen wird dazu neigen $19+2sqrt(90)$

Daher:

$sqrt(90) ~~ 1/2(2080805/54796-19) = 1/2(1039681/54796) = 1039681/109592 ~~ 9.48683298051$