Warum ist #lna - lnb = ln (a / b) #?

Es spielt keine Rolle, welche Basis wir verwenden, sofern für alle Logarithmen dieselbe Basis verwendet wird. Hier verwenden wir bease #e#.

Lasst uns definieren #A,B.C# wie folgt =:

# A = ln a iff a = e^A #,

# B = ln b iff b = e^B #

# C = ln (a/b) iff a/b = e^C #

Aus der letzten Definition haben wir:

# a/b = e^C => e^C = (e^A)/(e^B) #

Und mit dem Gesetz der Indizes:

# e^C = (e^A) (e^-B) = e^(A-B) #

Und als Exponential gilt a #1:1# monotone kontinuierliche Funktion haben wir:

# C = A-B #

Und so:

# ln (a/b) = ln a - ln b # QED

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