Warum ist $lna - lnb = ln (a / b)$ ?

Es spielt keine Rolle, welche Basis wir verwenden, sofern für alle Logarithmen dieselbe Basis verwendet wird. Hier verwenden wir bease $e$ .

Lasst uns definieren $A,B.C$ wie folgt =:

$A = ln a iff a = e^A$ ,

$B = ln b iff b = e^B$

$C = ln (a/b) iff a/b = e^C$

Aus der letzten Definition haben wir:

$a/b = e^C => e^C = (e^A)/(e^B)$

Und mit dem Gesetz der Indizes:

$e^C = (e^A) (e^-B) = e^(A-B)$

Und als Exponential gilt a $1:1$ monotone kontinuierliche Funktion haben wir:

$C = A-B$

Und so:

$ln (a/b) = ln a - ln b$ QED

Warum ist lna - lnb = ln (a / b) lna - lnb = ln (a / b) ?