Löse tanx = cotx für alle Lösungen [0, 2pi)?

Antworten:

#x in {pi/4, (3pi)/4, (5pi)/4, (7pi)/4}#

Erläuterung:

Beachten Sie, dass die anfängliche Anwesenheit von #tan(x) = sin(x)/cos(x)# und #cot(x) = cos(x)/sin(x)# impliziert, wir müssen haben #sin(x)!=0# und #cos(x)!=0#. Damit:

#tan(x) = cot(x)#

#=> sin(x)/cos(x) = cos(x)/sin(x)#

#=> sin(x)/cos(x)*sin(x)cos(x) = cos(x)/sin(x)*sin(x)cos(x)#

#=> sin^2(x) = cos^2(x)#

#=> sin(x) = +-cos(x)#

Wenn wir einen Einheitskreis untersuchen, stellen wir fest, dass diese Gleichheit bei gilt #x=pi/4+npi/2, n in ZZ#. Wir müssen also nur herausfinden, welche Werte von #n# Ursache #x# innerhalb des Intervalls liegen #[0, 2pi)# Testen, das finden wir

#pi/4+npi/2 in [0, 2pi)# in #n in {0, 1, 2, 3}#

Wenn wir diese ersetzen, erhalten wir unsere Antworten:

#x in {pi/4, (3pi)/4, (5pi)/4, (7pi)/4}#

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