Löse tanx = cotx für alle Lösungen [0, 2pi)?

Antworten:

$x in {pi/4, (3pi)/4, (5pi)/4, (7pi)/4}$

Erläuterung:

Beachten Sie, dass die anfängliche Anwesenheit von $tan(x) = sin(x)/cos(x)$ und $cot(x) = cos(x)/sin(x)$ impliziert, wir müssen haben $sin(x)!=0$ und $cos(x)!=0$ . Damit:

$tan(x) = cot(x)$

$=> sin(x)/cos(x) = cos(x)/sin(x)$

$=> sin(x)/cos(x)*sin(x)cos(x) = cos(x)/sin(x)*sin(x)cos(x)$

$=> sin^2(x) = cos^2(x)$

$=> sin(x) = +-cos(x)$

Wenn wir einen Einheitskreis untersuchen, stellen wir fest, dass diese Gleichheit bei gilt $x=pi/4+npi/2, n in ZZ$ . Wir müssen also nur herausfinden, welche Werte von $n$ Ursache $x$ innerhalb des Intervalls liegen $[0, 2pi)$ Testen, das finden wir

$pi/4+npi/2 in [0, 2pi)$ in $n in {0, 1, 2, 3}$

Wenn wir diese ersetzen, erhalten wir unsere Antworten:

$x in {pi/4, (3pi)/4, (5pi)/4, (7pi)/4}$