Können Sie mir ein Beispiel für eine irrationale Zahl zwischen #5 und 6 geben? #

Antworten:

#sqrt(26) = 5+1/(10+1/(10+1/(10+...))) ~~ 5.0990195#

Erläuterung:

Schon seit:

#5^2 = 25 < 26 < 36 = 6^2#

haben wir:

#5 < sqrt(26) < 6#

Zu zeigen, dass #sqrt(26)# ist irrational, angenommen:

#x = 5+1/(5+x)#

für einige #x > 0#

Multiplizieren Sie beide Seiten mit #5+x# das wird:

#5x+x^2 = 25+5x+1#

Subtrahieren #5x# von beiden Seiten und vereinfacht, wird dies:

#x^2 = 26#

Damit:

#x = sqrt(26)#

Also haben wir gezeigt:

#sqrt(26) = 5 + 1/(5+sqrt(26))#

#color(white)(sqrt(26)) = 5 + 1/(10+1/(10+1/(10+1/(10+...))))#

Da dieser fortgesetzte Bruch nicht terminiert, kann er nicht als terminierender Bruch ausgedrückt werden. Es ist also irrational.

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