Für die atomare # 2s # -Wellenfunktion von #psi = 1 / (2sqrt (2pi)) sqrt (1 / a_0) (2 - r / a_0) e ^ (- r // 2a_0) #, in welchem radialen Abstand weg vom kern sind keine elektronen zu finden?
Antworten:
#r_0 = 2 * a_0#
Erläuterung:
Der Schlüssel zu diesem Problem liegt in dem, was a auszeichnet Radialknoten.
Grundsätzlich ist die Wellenfunktion, #Psi(x)#ist einfach eine mathematische Funktion, die zur Beschreibung eines Quantenobjekts verwendet wird.
Die Wellenfunktion, die ein Elektron in einem Atom beschreibt, ist eigentlich ein Produkt zwischen Radialwellenfunktion, was in Ihrem Fall von Interesse ist, und die Winkelwellenfunktion.
Die Radialwellenfunktion kommt nur auf die an Entfernung vom Kern, #r#.
Nun wird ein Knoten tritt auf, wenn eine Wellenfunktion wechselt die Zeichendh wenn es durch Null geht. EIN Radialknoten tritt auf, wenn a Radialwellenfunktion geht durch Null.
Das Wichtigste an Knoten ist, dass ein Elektron hat Nullwahrscheinlichkeit sich an einem Knoten zu befinden. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Elektron an einem bestimmten Punkt befindet, ist gegeben durch Quadrat des Absolutwertes der Wellenfunktion, #|Psi(x)|^2#.
Da Sie keine Wahrscheinlichkeit haben, ein Elektron an einem Knoten zu lokalisieren, können Sie sagen, dass Sie haben
#color(blue)(|Psi(x)|^2 = 0) -># this is true at nodes
Sie erhalten also die Wellenfunktion von a 2s-Orbital
#Psi_(2s) = 1/(2sqrt(2pi)) * sqrt(1/a_0) * (2 - r/a_0) * e^(-r/(2a_0))#
und sagte, dass bei #r = r_0#, eine Radialknoten gebildet. Dies sagt Ihnen von Anfang an, dass Sie haben
#|Psi_(2s)|^2 = 0#
Schauen Sie sich jetzt noch einmal die Wellenfunktion an. Der einzige Weg, das Quadrat seines Absolutwerts auf Null zu bringen, ist, wenn Sie haben
#(2 - r/a_0) = 0#
da
#Psi_(2s) = overbrace(1/(2sqrt(2pi)) * sqrt(1/a_0))^(color(purple)(>0)) * (2 - r/a_0) * overbrace(e^(-r/(2a_0)))^(color(purple)(>0))#
Das bedeutet, dass Sie haben
#2 - r/a_0 = 0 implies r = 2 * a_0#
At #r = r_0#, Haben Sie
#color(green)(r_0 = 2 * a_0)#
So sieht die Wellenfunktion für das 2s-Orbital aus
Ein 2s-Orbital zeichnet sich dadurch aus, dass es keine gerichteten Eigenschaften hat - für seine Wellenfunktion erhält man genau den gleichen Wert ungeachtet vom Wert von #r#.
Deshalb ist das 2s-Orbital kugelförmig.
Außerdem zeigt dies Ihnen, dass die Wellenfunktion die Vorzeichen ändert im gleichen Abstand aus dem Kern in alle Richtungen, weshalb a Knotenfläche gebildet.
Die Wellenfunktion eines 2s-Orbitals ändert die Vorzeichen einmal, also hast du nur einem Knotenfläche hier.