Ein Wassertank hat die Form eines umgedrehten Kegels mit dem Radius 2 m und der Höhe 5 m. Das Wasser fließt durch ein kleines Loch am Boden aus dem Tank. Wie schnell ändert sich der Wasserstand, wenn der Ausfluss #3 m ^ 3 / min # in der Höhe, # h = 4 m # anzeigt?

Wir erhalten die Änderungsrate des Volumens
#(dV)/dt=3m^3/min=0.05m^3/s#
und werden gebeten, die Änderungsrate des Wasserstandes zu finden, #(dh)/dt#.

In Form einer Differentialgleichung können wir dies ausdrücken als
#(dV)/dt=(dV)/(dh)*(dh)/dt=0.05# was wir anrufen werden equation1

wir wollen finden #(dh)/dt# also müssen wir finden #(dV)/(dh)#.

Das Volumen eines Kegels ist gegeben durch
#V=pir^2h/3#

Und in diesem Fall #r/h=2/5# so #r=2/5h#

Das Einsetzen in die Volumengleichung ergibt:

#V=pir^2h/3=pi(2/5h)^2(h/3)=pi4/75h^3#

Wir können jetzt unterscheiden:

#(dV)/(dh)=pi12/75h^2#

Wenn h = 4, dann #(dV)/(dh)=pi12/75h^2=2.56pi#

Also, wenn wir dies wieder in Gleichung 1 einsetzen:

#(2.56pi)*((dh)/dt)=0.05#

#(dh)/dt=0.05/(2.56pi)=6.2times 10^-3ms^-1=0.37m/ min#