Ein Wassertank hat die Form eines umgedrehten Kegels mit dem Radius 2 m und der Höhe 5 m. Das Wasser fließt durch ein kleines Loch am Boden aus dem Tank. Wie schnell ändert sich der Wasserstand, wenn der Ausfluss $3 m ^ 3 / min$ in der Höhe, $h = 4 m$ anzeigt?

Antworten:

Änderungsrate ist $6.2times 10^-3ms^-1=0.37m/ min$

Erläuterung:

Wir erhalten die Änderungsrate des Volumens
$(dV)/dt=3m^3/min=0.05m^3/s$
und werden gebeten, die Änderungsrate des Wasserstandes zu finden, $(dh)/dt$ .

In Form einer Differentialgleichung können wir dies ausdrücken als
$(dV)/dt=(dV)/(dh)*(dh)/dt=0.05$ was wir anrufen werden equation1

wir wollen finden $(dh)/dt$ also müssen wir finden $(dV)/(dh)$ .

Das Volumen eines Kegels ist gegeben durch
$V=pir^2h/3$

Und in diesem Fall $r/h=2/5$ so $r=2/5h$

Das Einsetzen in die Volumengleichung ergibt:

$V=pir^2h/3=pi(2/5h)^2(h/3)=pi4/75h^3$

Wir können jetzt unterscheiden:

$(dV)/(dh)=pi12/75h^2$

Wenn h = 4, dann $(dV)/(dh)=pi12/75h^2=2.56pi$

Also, wenn wir dies wieder in Gleichung 1 einsetzen:

$(2.56pi)*((dh)/dt)=0.05$

$(dh)/dt=0.05/(2.56pi)=6.2times 10^-3ms^-1=0.37m/ min$

Ein Wassertank hat die Form eines umgedrehten Kegels mit dem Radius 2 m und der Höhe 5 m. Das Wasser fließt durch ein kleines Loch am Boden aus dem Tank. Wie schnell ändert sich der Wasserstand, wenn der Ausfluss 3 m ^ 3 / min 3 m ^ 3 / min in der Höhe, h = 4 m h = 4 m anzeigt?

Antworten:

Erläuterung:

Ein Wassertank hat die Form eines umgedrehten Kegels mit dem Radius 2 m und der Höhe 5 m. Das Wasser fließt durch ein kleines Loch am Boden aus dem Tank. Wie schnell ändert sich der Wasserstand, wenn der Ausfluss $3 m ^ 3 / min$ in der Höhe, $h = 4 m$ anzeigt?