Ein Kreis hat einen Akkord, der von # (3 pi) / 2 # bis # (7 pi) / 4 # Bogenmaß im Kreis reicht. Wenn die Fläche des Kreises #99 pi # ist, wie lang ist der Akkord?

Verwenden Sie zunächst einen Einheitskreis, um die Endpunkte des Akkords auf dem Kreis zu bestimmen.

Wenn jeder Endpunkt des Akkords mit dem Mittelpunkt des Kreises verbunden ist, wird ein gleichschenkliges Dreieck gebildet, dessen kongruente Seiten jeweils eine Länge von haben #r#, die Länge des Radius.

Der Winkel zwischen den beiden äquivalenten Seiten des Dreiecks ist gleich der Differenz zwischen den Winkeln, die im Problem angegeben sind:

#theta=(7pi)/4-(3pi)/2=pi/4 radians#

Schließlich wird das Gesetz der Cosinus kann verwendet werden, um eine Gleichung für die Länge des Akkords zu bestimmen:

#c^2=a^2+b^2-2abcostheta#

da sowohl #a# und #b# sind gleich #r#kann die Formel wie folgt umgeschrieben werden:
#c^2=r^2+r^2-2*r*r*costheta#
#c^2=2r^2-2r^2costheta#
#c^2=2r^2*(1-costheta)#

Das Problem besagt, dass die Fläche des Kreises ist #99pi#. Dies ermöglicht es uns, zu lösen #r^2#:

#A=pir^2#
#A/pi=r^2#

#r^2=(99pi)/pi=99#

Stecken Sie diesen Wert in die Gleichung für den Akkord:
#c^2=2r^2*(1-costheta)#
#c^2=2*99*(1-cos(pi/4))#
#c^2=198*(1-0.707)#
#c^2=58.014#
#c=7.62#

Hinweis: Da die Längeneinheiten nicht angegeben sind, verwenden Sie einfach "units".