Mal sehen, was passiert, wenn wir eine Potenz von berechnen #i#:

#i = i#
#i^2 = -1#
#i^3 = i^2 * i = -1 * i = -i#
#i^4 = i^2 * i^2 = -1 * (-1) = 1#

#i^5 = i^4 * i = 1 * i = i#

... und so weiter, danach die Sequenz #i#, #-1#, #-i# und #1# wiederholt sich.

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Wie können Sie feststellen, für welche es ist? #i^38#?
Beginnen wir mit der Faktorisierung #38 = 4*9 + 2#:

#i^38 = i^(4*9+2) = i^(4*9) * i^2 = (i^4)^9 * i^2 = 1^9 * (-1) = -1#

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Lassen Sie mich Ihnen zusätzlich einen allgemeinen Weg zur Feststellung zeigen #i^n# für jede positive ganze Zahl #n#.

Es gibt vier Möglichkeiten:

• if #n# can be divided by #4#, then #i^n = 1#
• if #n# can be divided by #2# (but not by #4#), then #i^n = -1#
• if #n# is an odd number but #n-1# can be divided by #4#, then #i^n = i#
• if #n# is an odd number but #n+1# can be divided by #4#, then #i^n = -i#

Formeller beschrieben,

#i^n = {(1, " " n= 4k),(i, " " n = 4k + 1),(-1, " " n = 4k + 2),(-i, " " n= 4k + 3) :}#

for #k in NN_0#.

#csc(-15) = -csc(15)#, da cosecant eine ungerade Funktion ist.

#cscx = 1/sinx#

∴ #csc(-15) = -1/sin(15)#, damit wir auswerten können #sin(15)#.

#15 = 45-30#

∴ #sin(15) = sin(45-30)#

Die Sinusdifferenz Identität ist

#sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB#

∴ #sin(15) = sin(45)cos(30) – cos(45)sin(30)#

Wir können den Einheitenkreis verwenden, um diese Funktionen zu bewerten.

![Einheitskreis](
(Ab www.algebra.com)

#sin(15) = sqrt2/2·sqrt3/2 – sqrt2/2·1/2 = sqrt2/4(sqrt3-1) = (sqrt3-1)/(2sqrt2)#

#csc(-15) = -1/sin(15) = -(2sqrt2)/(sqrt3-1) = -(2sqrt2)/(sqrt3-1)× (sqrt3+1)/(sqrt3+1)#

#csc(-15) = -(2sqrt2(sqrt3+1))/(3-1) = -(2sqrt2(1+sqrt3))/2#

#csc(-15) = -sqrt2(1+sqrt3)#