Limacons sind polare Funktionen vom Typ:
#r=a+-bcos(theta)#
#r=a+-bsin(theta)#
Mit  #|a/b|<1# or #1<|a/b|<2# or #|a/b|>=2#

Betrachten Sie zum Beispiel: #r=2+3cos(theta)#
Grafisch:

Nieren sind polare Funktionen vom Typ:
#r=a+-bcos(theta)#
#r=a+-bsin(theta)#
Aber mit #|a/b|=1#

Betrachten Sie zum Beispiel: #r=2+2cos(theta)#
Grafisch:

in beiden Fällen:
#0<=theta<=2pi#

.................................................. .................................................. .................
Ich habe Excel verwendet, um die Diagramme zu zeichnen und in beiden Fällen, um die Werte in der zu erhalten #x# und #y# Spalten Sie müssen sich die Beziehung zwischen Polarkoordinaten (erste beiden Spalten) und Rechteckkoordinaten (zweite beiden Spalten) merken:

Wir machen es mit Integration in Teilstücken.

Lassen #u=x^2# und #v=e^x#, dann #du=2xdx# und #dv=e^xdx#

Nun heißt es in der Teilintegration:

#intu(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-intv(x)u'(x)dx#

Daher #intx^2e^xdx=x^2e^x-inte^x xx 2xdx#

= #x^2e^x-2intxe^xdx+c# ............... (1)

Jetzt legen wir los #u=x#, dann #du=dx#

und #intxe^xdx=xe^x-inte^x xx1xxdx# or

#intxe^xdx=xe^x-inte^xdx=xe^x-e^x#

Putting dies in (1), wir bekommen

#intx^2e^xdx=x^2e^x-2(xe^x-e^x)+c#

= #e^x(x^2-2x+2)+c#