#1/sinx = cscx = cscx (cscx+cotx)/(cscx+cotx)#

# = (csc^2 x + csc x cot x)/(cscx+cotx)#

Der Zähler ist das Gegenteil (das "Negative") der Ableitung des Nenners.

Das Antiderivativ ist also minus dem natürlichen Logarithmus des Nenners.

#-ln abs(cscx + cot x)#.

(Wenn Sie die Technik der Substitution gelernt haben, können wir verwenden #u = cscx + cot x#, damit #du = -csc^2 x - cscx cotx#. Der Ausdruck wird #-1/u du#.)

Sie können diese Antwort durch Unterscheiden überprüfen.

Gegeben ist die Änderungsrate des Volumens in Bezug auf die Zeit
#(d V) / dt = 10 ##(cub. cm)/(sec)#

Wir suchen die Änderungsrate der Höhe in Bezug auf die Zeit:
#(d h) / dt#

#(d V)/(dt) * ( ? ) = (d h)/(dt)#

Der offensichtliche Ersatz für #( ? )# scheint zu sein
#(d h)/(dV)#die Änderungsrate der Höhe in Bezug auf das Volumen.

Das Volumen eines Kegels ergibt sich aus der Formel:
#V = (Pi r^2 h)/3#

Das Verhältnis des Radius zur Höhe für den gegebenen Kegel ist
#r/h = 15/25 = 3/5# (siehe Zeichnung)

or
#r = 3/5 h#

Also, für den gegebenen Kegel:
#V = (Pi * (3/5 h)^2* h)/3 = (3 Pi h^3)/25 (cub. cm)#

Deshalb
#(d V)/(dh) = (9 Pi)/(25) h^2 (sq. cm)#

#rarr (d h)/(dV) = (25)/( 9 Pi h^2 (sq. cm))#

#(d h)/(dt)#
#=(d V)/(dt) * (d h)/(dV) = (10 cub. cm)/(sec) * (25)/(9 Pi h^2 (sq. cm))#
#= (250 cm)/(9 Pi h^2 sec)#

bei h = 3
#(d h)/(dt)# wird
#(250)/(9 Pi xx (9)) ((cm)/(sec))#

# = (250/(81 * Pi)) ((cm)/(sec))#