Kylen – Die Kluge Eule

Wie findet man die Oberfläche des Teils des kreisförmigen Paraboloids # z = x ^ 2 + y ^ 2 #, der im Zylinder # x ^ 2 + y ^ 2 = 1 # liegt?

Kylen — Sun, 08 Mar 2020 17:36:08 +0000

Wie findet man die Oberfläche des Teils des kreisförmigen Paraboloids # z = x ^ 2 + y ^ 2 #, der im Zylinder # x ^ 2 + y ^ 2 = 1 # liegt?

Ich gehe von folgenden Kenntnissen aus; Bitte stellen Sie als separate Frage (n), wenn eine dieser Fragen noch nicht geklärt ist:

Konzept der partiellen Ableitungen
Die Fläche einer Fläche, #f(x,y)#über einem Bereich R der XY-Ebene ist gegeben durch #int int_R sqrt((f_x')^2 + (f_y')^2 +1) dx dy# woher
#f_x'# und #f_y'# sind die partiellen Ableitungen von #f(x,y)# in Bezug auf #x# und #y# beziehungsweise.
Um das Integral einer Funktion in Rechteckkoordinaten in eine Funktion in Polarkoordinaten umzuwandeln: #dx dy rarr (r) dr d theta#

If #z = f(x,y) = x^2 + y^2#
dann #f_x' = 2x# und #f_y'= 2y#

Die Fläche über der Region definiert durch #x^2+y^2 = 1#ist gegeben durch
#S =int int_R sqrt(4x^2 + 4y^2 + 1) dx dy#

Konvertieren in Polarkoordinaten (da es einfacher ist, mit Polarkoordinaten im kreisförmigen Bereich zu arbeiten)
#S = int_(theta = 0)^(2pi) int_(r=0)^1 (4 r^2+1)^(1/2) (r) dr d theta#

#= int_(theta=0)^(2pi) ((4r^2+1)^(3/2))/(12) |_(r=0)^1 d theta#

#= int_(theta=0)^(2pi) (5sqrt(5)-1)/(12) d theta#

#= (5sqrt(5) -1)/(12) theta |_(theta=0)^(2pi)#

#= (5sqrt(5)-1)/6 pi#

Wie findet man die Steigung einer Polarkurve?

Kylen — Mon, 20 Jan 2020 18:51:45 +0000

Wie findet man die Steigung einer Polarkurve?

Antworten:

If #r=f(theta)# ist die Polarkurve, dann die Steigung an einem beliebigen Punkt dieser Kurve mit bestimmten Polarkoordinaten #(r,theta)# is #(f'(theta)sin(theta)+f(theta)cos(theta))/(f'(theta)cos(theta)-f(theta)sin(theta))#

Erläuterung:

If #r=f(theta)#, dann #x=r cos(theta)=f(theta)cos(theta)# und #y=r sin(theta)=f(theta)sin(theta)#. Dies impliziert, durch die Produktregel, Dass #dx/(d theta)=f'(theta)cos(theta)-f(theta)sin(theta)# und #dy/(d theta)=f'(theta)sin(theta)+f(theta)cos(theta)#.

Deshalb #mbox{slope}=dy/dx=(dy/(d theta))/(dx/(d theta))=(f'(theta)sin(theta)+f(theta)cos(theta))/(f'(theta)cos(theta)-f(theta)sin(theta))#

Ich habe das mit der Polarkurve getestet #r=f(theta)=theta#, was gab #dy/dx=(sin(theta)+theta cos(theta))/(cos(theta)-theta sin(theta))# und an dem Punkt mit Polarkoordinaten #(r,theta)=(f(theta),theta)=(f((5pi)/6),(5pi)/6)=((5pi)/6,(5pi)/6) approx (2.62,2.62)# (und rechteckige Koordinaten #(x,y) approx (-2.28,1.31)#)

#dy/dx=(sin((5pi)/6)+(5pi)/6 * cos((5pi)/6))/(cos((5pi)/6)-(5pi)/6 * sin((5pi)/6))=(1/2 + (5pi)/6 * (-sqrt(3)/2) )/(-sqrt(3)/2 -(5pi)/6 * 1/2) approx 0.81252#. Ich habe die Polarkurve zusammen mit ihrer Tangente an dieser Stelle grafisch dargestellt und das folgende Bild erhalten. Es sieht gut aus.