Wann auch immer #cos(theta) = 1#,

erhalten wir #sin(theta) = +-sqrt(1-cos^2theta) = 0#

und #cos(theta)-sin(theta) = 1 - 0 = 1#.

#cos(theta) = 1# in #theta = 2npi# für alle #n in ZZ#.

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Wann auch immer #sin(theta) = -1#,

erhalten wir #cos(theta) = +-sqrt(1-sin^2theta) = 0#

und #cos(theta)-sin(theta) = 0 - (-1) = 1#.

#sin(theta) = -1# in #theta = -pi/2+2npi# für alle #n in ZZ#.

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Wenn wir zwei Fälle zusammenfassen, haben wir Lösungen, wenn:

#theta = 2npi# für alle #n in ZZ#

und wann

#theta = -pi/2 + 2npi# für alle #n in ZZ#

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So stellen Sie sicher, dass dies die einzigen Lösungen sind:

Beginnen mit #cos(theta)-sin(theta)=1#zuerst hinzufügen #sin(theta)# zu beiden Seiten:

#cos(theta)=sin(theta)+1#

Dann kreuzen Sie beide Seiten an:

#cos^2(theta)=sin^2(theta)+2sin(theta)+1#

Dann benutze #cos^2(theta)=1-sin^2(theta)# bekommen:

#1-sin^2(theta)=sin^2(theta)+2sin(theta)+1#

Add #sin^2(theta)-1# an beide seiten zu bekommen:

#0=2sin^2(theta)+2sin(theta)=2sin(theta)(sin(theta)+1)#

Also entweder #sin(theta) = 0# or #sin(theta) = -1#

Wir haben bereits abgerechnet #sin(theta) = -1# in unseren Lösungen.

Wie wäre es mit #sin(theta) = 0#?

Wenn dem so ist, dann

#cos^2(theta) = 1 - sin^2(theta) = 1 - 0 = 1#

So #cos(theta) = +-sqrt(1) = +-1#

Nur der Fall #cos(theta) = 1# erfüllt #cos(theta)-sin(theta) = 1# und das haben wir auch schon berücksichtigt.

Wir haben also alle Lösungen gefunden.

Da #150 = 25*6#,
#sqrt(150) = sqrt(25*6)=sqrt(25)*sqrt(6)=5sqrt(6)#

Hier ist der schrittweise Prozess.

1. Ändern Sie zunächst den Bruch in eine Dezimalzahl, indem Sie den Zähler um den Nenner tauschen (#1# geteilt durch #5#). Das entspricht #0.2#.

2. Ändern Sie die Dezimalstelle in ein Prozent, indem Sie sie mit multiplizieren #100%#oder die Dezimalstelle um zwei Stellen verschieben. Das gibt dir #20%#.

Eine andere Denkweise ist das Multiplizieren des Zählers mit #100%#und dividiert dies durch den Nenner (#100%# geteilt durch #5#). Das gibt dir #20%#.

Erstens #sin120^@ = sqrt(3)/2#

Zweitens #cos120^@ = -1/2#

Drittens, #tan315^@ = -1#.

Berechnung:

#((sqrt(3)/2) xx -1/2)/-1#

#sqrt(3)/4#

Für ein tieferes Verständnis: Wie spezielle Winkel funktionieren

Betrachten Sie die beiden speziellen Dreiecke, die am unteren Rand Ihres Diagramms angezeigt werden. Sie sind aus einem bestimmten Grund besonders: Wir können die trigonometrischen Winkelverhältnisse von in genauem Wert finden

#3 0^@, 60^@ and 45^@#

Betrachten Sie nun das folgende Bild:

Dies zeigt an, dass Cos im Quadranten IV positiv ist, sin im Quadranten II positiv ist und tan im Quadranten III positiv ist. Daher ist sin in den Quadranten III und IV negativ, während in Quadrant I alles positiv ist.

Die Quadranten werden durch Intervalle von geteilt #90^@#

Quadrant 1: #0^@ - 90^@#

Quadrant 2: #91^@ - 180^@#

Quadrant 3: #181^@ - 270^@#

Quadrant 4: #271^@ - 360^@#

Also ein Winkel von #120^@# ist in Quadrant II.

Bevor wir jedoch das trigonometrische Verhältnis finden, müssen wir uns mit Bezugswinkeln befassen. Ein Referenzwinkel ist der Winkel zwischen dem Endarm Ihres Winkels. #theta# und die x-Achse. Ein Referenzwinkel muss daher immer kleiner sein als #90^@#. Zum Beispiel der Bezugswinkel von #120^@# is #60˚#, Da #120 + 60 = 180#, und #180˚# liegt auf der x-Achse.

Sobald wir den Referenzwinkel kennen, können wir die trigonometrischen Verhältnisse des Referenzwinkels unter Verwendung der speziellen Dreiecke verwenden. Dies entspricht dem Verhältnis des realen Winkels. Sie müssen auch das rechte Quadrantenzeichen verwenden, wenn Sie also den Wert von finden #sin225˚# es wird negativ sein.

Lass es uns tun #sin120˚#

Der Referenzwinkel für 120˚ ist 60˚. Wenn wir die Definition von Sünde, Gegenteil / Hypotenuse anwenden, bekommen wir #sin60˚ = sqrt(3)/2#

Sin ist also im Quadranten II positiv #sin120˚ = sqrt(3)/2#

Nachdem Sie den Prozess verstanden haben, müssen Sie nicht mehr vom Diagramm abhängig sein. Das mag zunächst alles sehr ahnungsvoll und hart erscheinen, aber Sie werden sich schnell daran gewöhnen.

Übungsaufgaben:

Ermitteln Sie die folgenden Verhältnisse in exakten Werten:

a) #sin210˚#

b) #tan240˚#

c) #cos150˚#

Viel Glück!