Wie vereinfacht man die Quadratwurzel von 95?

Antworten:

$\sqrt{95} \approx \frac{18495361}{1897584} \approx 9.746794344809$ $sqrt(95) ~~ 18495361/1897584 ~~ 9.746794344809$

ist schon in einfachster Form.

Erläuterung:

Die Primfaktorisierung von $95$ $95$ ist:

$95 = 5 \cdot 19$ $95 = 5 * 19$

Da dies keine quadratischen Faktoren enthält, $\sqrt{95}$ $sqrt(95)$ ist schon in einfachster Form. Es gibt keine Faktoren, die sich außerhalb des Radikals bewegen lassen.

Als fortgesetzte Fraktion finden wir:

$\sqrt{95} = [9; ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯ 1, 2, 1, 18] = 9 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{18 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{18 + ...}}}}}}}}$ $sqrt(95) = [9;bar(1,2,1,18)] = 9+1/(1+1/(2+1/(1+1/(18+1/(1+1/(2+1/(1+1/(18+...))))))))$

Daher eine effiziente rationale Approximation für $\sqrt{95}$ $sqrt(95)$ ist:

$[9; 1, 2, 1] = 9 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{1}}} = \frac{39}{4}$ $[9;1,2,1] = 9+1/(1+1/(2+1/1)) = 39/4$

Für eine unterhaltsame Art und Weise bessere Annäherungen zu finden $\sqrt{95}$ $sqrt(95)$ Betrachten Sie das Quadrat mit Nullen $39 + 4 \sqrt{95}$ $39+4sqrt(95)$ und $39 - 4 \sqrt{95}$ $39-4sqrt(95)$ :

$(x - 39 - 4 \sqrt{39}) (x - 39 + 4 \sqrt{95}) = {(x - 39)}^{2} - 1520$ $(x-39-4sqrt(39))(x-39+4sqrt(95)) = (x-39)^2-1520$

$(x - 39 - 4 \sqrt{39}) (x - 39 + 4 \sqrt{95}) = x^{2} - 78 x + 1$ $color(white)((x-39-4sqrt(39))(x-39+4sqrt(95))) = x^2-78x+1$

Definieren Sie darauf aufbauend eine Folge rekursiv durch:

$⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} a_{0} = 0 a_{1} = 1 a_{n + 2} = 78 a_{n + 1} - a_{n} \end{matrix}$ ${ (a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_(n+2) = 78a_(n+1)-a_n) :}$

Die ersten Begriffe dieser Sequenz sind:

$0, 1, 78, 6083, 474396, 36996805$ $0, 1, 78, 6083, 474396, 36996805$

Das Verhältnis zwischen aufeinanderfolgenden Begriffen wird sich schnell annähern $39 + 4 \sqrt{95}$ $39+4sqrt(95)$ .

Daher finden wir:

$\sqrt{95} \approx \frac{1}{4} (\frac{36996805}{474396} - 39) = \frac{1}{4} (\frac{18495361}{474396}) = \frac{18495361}{1897584}$ $sqrt(95) ~~ 1/4(36996805/474396 - 39) = 1/4(18495361/474396) = 18495361/1897584$

$\sqrt{95} \approx 9.746794344809$ $color(white)(sqrt(95)) ~~ 9.746794344809$