Löse tanx = cotx für alle Lösungen [0, 2pi)?

Antworten:

$x \in {\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4}}$ $x in {pi/4, (3pi)/4, (5pi)/4, (7pi)/4}$

Erläuterung:

Beachten Sie, dass die anfängliche Anwesenheit von $tan (x) = \frac{sin (x)}{cos (x)}$ $tan(x) = sin(x)/cos(x)$ und $cot (x) = \frac{cos (x)}{sin (x)}$ $cot(x) = cos(x)/sin(x)$ impliziert, wir müssen haben $sin (x) \neq 0$ $sin(x)!=0$ und $cos (x) \neq 0$ $cos(x)!=0$ . Damit:

$tan (x) = cot (x)$ $tan(x) = cot(x)$

$\Rightarrow \frac{sin (x)}{cos (x)} = \frac{cos (x)}{sin (x)}$ $=> sin(x)/cos(x) = cos(x)/sin(x)$

$\Rightarrow \frac{sin (x)}{cos (x)} \cdot sin (x) cos (x) = \frac{cos (x)}{sin (x)} \cdot sin (x) cos (x)$ $=> sin(x)/cos(x)*sin(x)cos(x) = cos(x)/sin(x)*sin(x)cos(x)$

$\Rightarrow {sin}^{2} (x) = {cos}^{2} (x)$ $=> sin^2(x) = cos^2(x)$

$\Rightarrow sin (x) = \pm cos (x)$ $=> sin(x) = +-cos(x)$

Wenn wir einen Einheitskreis untersuchen, stellen wir fest, dass diese Gleichheit bei gilt $x = \frac{π}{4} + n \frac{π}{2}, n \in Z$ $x=pi/4+npi/2, n in ZZ$ . Wir müssen also nur herausfinden, welche Werte von $n$ $n$ Ursache $x$ $x$ innerhalb des Intervalls liegen $[0, 2 π)$ $[0, 2pi)$ Testen, das finden wir

$\frac{π}{4} + n \frac{π}{2} \in [0, 2 π)$ $pi/4+npi/2 in [0, 2pi)$ in $n \in {0, 1, 2, 3}$ $n in {0, 1, 2, 3}$

Wenn wir diese ersetzen, erhalten wir unsere Antworten:

$x \in {\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4}}$ $x in {pi/4, (3pi)/4, (5pi)/4, (7pi)/4}$