Wie sieht der Graph der siebten Einheitswurzel auf einem Einheitskreis aus, wie er im beigefügten Bild dargestellt ist?
Antworten:
Es gibt sieben siebte wurzeln der einheit, #e^{ {2pi k i }/7}#, alle auf dem Einheitskreis, #r=1# über. Der erste ist bei #theta={2pi}/7 = 360^circ/7 = 51 3/7 ^circ #und es gibt andere bei #{4pi}/7, {6pi}/7, {8pi}/7, {10 pi}/7, {12 pi}/7 # und natürlich bei #0# Bogenmaß, dh die Einheit selbst.
Erläuterung:
Eulers Identität zu einer geradzahligen Potenz von #2k# Erzähl uns
#(e^{i pi})^{2 k} = (-1)^{2k} #
#e^{2pi k i} = 1#
Nun sehen wir
#1^(1/7) = (e^{2pi k i})^{1/7} = e^{ {2pi k i }/7} #
Das sind sieben verschiedene siebte Wurzeln, die durch sieben aufeinanderfolgende gegeben sind #k#s. (Danach wiederholen sie.)