Wie verifizieren Sie die Identität $(csc θ - cot θ) (csc θ + cot θ) = 1$ $(csctheta-cottheta) (csctheta + cottheta) = 1$ ?

Wir haben: $(csc (θ) - cot (θ)) (csc (θ) + cot (θ))$ $(csc(theta) - cot(theta)) (csc(theta) + cot(theta))$

Lassen Sie uns die Klammern erweitern:

$= (csc (θ)) (csc (θ)) + (csc (θ)) (cot (θ)) + (- cot (θ) (csc (θ)) + (- cot (θ)) (cot (θ))$ $= (csc(theta)) (csc(theta)) + (csc(theta)) (cot(theta)) + ( - cot(theta) (csc(theta)) + (- cot(theta)) (cot(theta))$

$= {csc}^{2} (θ) + csc (θ) cot (θ) - csc (θ) cot (θ) - {cot}^{2} (θ)$ $= csc^(2)(theta) + csc(theta) cot (theta) - csc(theta) cot(theta) - cot^(2)(theta)$

${csc}^{2} (θ) - {cot}^{2} (θ)$ $csc^(2)(theta) - cot^(2)(theta)$

Wenden wir dann zwei trigonometrische Standardidentitäten an. $csc (θ) = \frac{1}{sin (θ)}$ $csc(theta) = (1) / (sin(theta))$ und $cot (θ) = \frac{cos (θ)}{sin (θ)}$ $cot(theta) = (cos(theta)) / (sin(theta))$ :

$= {(\frac{1}{sin (θ)})}^{2} - {(\frac{cos (θ)}{sin (θ)})}^{2}$ $= ((1) / (sin(theta)))^(2) - ((cos(theta)) / (sin(theta)))^(2)$

$= \frac{1}{{sin}^{2} (θ)} - \frac{{cos}^{2} (θ)}{{sin}^{2} (θ)}$ $= (1) / (sin^(2)(theta)) - (cos^(2)(theta)) / (sin^(2)(theta))$

$= \frac{1 - {cos}^{2} (θ)}{{sin}^{2} (θ)}$ $= (1 - cos^(2)(theta)) / (sin^(2)(theta))$

Eine der pythagoreischen Identitäten ist ${cos}^{2} (θ) + {sin}^{2} (θ) = 1$ $cos^(2)(theta) + sin^(2)(theta) = 1$ .

Wir können dies neu anordnen, um Folgendes zu erhalten:

$\Rightarrow {sin}^{2} (θ) = 1 - {cos}^{2} (θ)$ $=> sin^(2)(theta) = 1 - cos^(2)(theta)$

Wenden wir diese neu arrangierte Identität auf unseren Beweis an:

$= \frac{{sin}^{2} (θ)}{{sin}^{2} (θ)}$ $= (sin^(2)(theta)) / (sin^(2)(theta))$

$= 1$ $=1$ (QED)

Wie verifizieren Sie die Identität (csctheta-cottheta) (csctheta + cottheta) = 1 (cscθ−cotθ)(cscθ+cotθ)=1 (csctheta-cottheta) (csctheta + cottheta) = 1 ?

Wie verifizieren Sie die Identität $(csc θ - cot θ) (csc θ + cot θ) = 1$ $(csctheta-cottheta) (csctheta + cottheta) = 1$ ?