Wie beweist man Sünde (90 ° -a) = cos (a)?

Antworten:

Ich bevorzuge einen geometrischen Beweis. Siehe unten.

Erläuterung:

Wenn Sie nach einem strengen Beweis suchen, tut es mir leid - ich bin nicht gut darin. Ich bin sicher, dass ein anderer sokratischer Mitwirkender wie George C. etwas Solideres tun könnte als ich; Ich werde Ihnen nur erklären, warum diese Identität funktioniert.

Schauen Sie sich das folgende Diagramm an:
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Es ist ein generisches rechtwinkliges Dreieck mit einem $90^o$ Winkel wie durch das Kästchen und einen spitzen Winkel angegeben $a$ . Wir kennen die Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck, und ein Dreieck im Allgemeinen muss dazu addieren $180^o$ Also, wenn wir einen Winkel von haben $90$ und ein Winkel von $a$ muss unser anderer Winkel sein $90-a$ :
$(a)+(90-a)+(90)=180$
$180=180$

Wir können sehen, dass die Winkel in unserem Dreieck tatsächlich dazu beitragen $180$ Damit sind wir auf dem richtigen Weg.

Fügen wir nun einige Variablen für die Seitenlänge in unser Dreieck ein.
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Die Variable $s$ steht für die Hypotenuse, $l$ steht für Länge und $h$ steht für Höhe.

Wir können jetzt mit dem saftigen Teil beginnen: dem Beweis.

Beachten Sie, dass $sina$ , das als Gegenteil definiert ist ( $h$ ) geteilt durch Hypotenuse ( $s$ ), gleich $h/s$ im Diagramm:
$sina=h/s$

Beachten Sie auch, dass der Cosinus des oberen Winkels, $90-a$ , entspricht der angrenzenden Seite ( $h$ ) geteilt durch die Hypotenuse ( $s$ ):
$cos(90-a)=h/s$

Also, wenn $sina=h/s$ , und $cos(90-a)=h/s$ ...

Dann $sina$ muss gleich sein $cos(90-a)$ !
$sina=cos(90-a)$

Und Boom, Beweis abgeschlossen.