Was ist die Spannweite einer Matrix?

Eine Menge von Vektoren überspannt ein Leerzeichen, wenn jeder andere Vektor im Leerzeichen als lineare Kombination der überspannenden Menge geschrieben werden kann. Um die Bedeutung zu verstehen, müssen wir uns die Matrix aus Spaltenvektoren ansehen.

Hier ist ein Beispiel in #mathcal R^2#:

Lassen Sie unsere Matrix #M = ((1,2),(3,5))#

Dies hat Spaltenvektoren: #((1),(3))# und #((2),(5))#, die linear unabhängig sind, so ist die Matrix nicht singulär dh umkehrbar usw. usw.

Angenommen, wir möchten zeigen, dass der verallgemeinerte Punkt #(x,y)# liegt innerhalb der Spanne dieser 2-Vektoren, dh, die Matrix überspannt alle #mathcal R^2#, dann versuchen wir das zu lösen:

#alpha ((1),(3)) + beta ((2),(5)) = ((x),(y))#

Oder:

#((1,2),(3,5)) ((alpha),(beta))= ((x),(y))#

Sie können dies auf verschiedene Arten lösen, z. B. durch Zeilenreduzierung oder Invertierung von M .....

#alpha = - 5x + 2y, beta = 3x - y#

Nehmen wir also an, wir wollen das überprüfen #(2,3)# Im Bereich dieser Matrix, M, wenden wir das Ergebnis an, das wir gerade erhalten haben:

#alpha = -4#
#beta = 3#

Überprüfen:

#-4 ((1),(3)) + 3 ((2),(5)) = ((2),(3))# !!

Betrachten Sie als nächstes eine andere Matrix: #M' = ((1,2),(2,4))#. Das ist Singular weil seine Spaltenvektoren, #((1),(2))# und #((2),(4))#sind linear abhängig. Diese Matrix erstreckt sich nur entlang der Richtung #((1),(2))#.