Wie löst man # cscx + cotx = 1 # für #0 <= x <= 2pi #?

Betrachten Sie die folgenden Identitäten:

•#csctheta = 1/sintheta#

•#cottheta = 1/(tan theta) = 1/(sintheta/costheta) = costheta/sintheta#

Wenn wir diese beiden Identitäten auf die Anfangsgleichung anwenden, haben wir Folgendes:

#1/sinx + cosx/sinx = 1#

#(1 + cosx)/sinx = 1#

#1 + cosx = sinx#

#(1 + cosx)^2 = (sinx)^2#

#1 + 2cosx + cos^2x = sin^2x#

#cos^2x - sin^2x + 2cosx + 1 = 0#

Umwandlung der #sin^2x# zu #1 - cos^2x# in Übereinstimmung mit der pythagoräischen Identität #sin^2x + cos^2x = 1#:

#cos^2x - (1 - cos^2x) + 2cosx + 1 = 0#

#cos^2x - 1 + cos^2x + 2cosx + 1 = 0#

#2cos^2x + 2cosx = 0#

#2cosx(cosx + 1) = 0#

#cosx = 0 and cosx = -1#

#x = pi/2, (3pi)/2, pi#

Aber, #pi# ist irrelevant, da dadurch der Nenner gleich Null und damit der Ausdruck undefiniert wird. Das #(3pi)/2# ist auch irrelevant, weil es in der Anfangsgleichung nicht funktioniert.

Daher lautet die Lösungsmenge #{pi/2}#.

Hoffentlich hilft das!