Die Ableitung ist: #1-tanh^2(x)#

Hyperbolische Funktionen funktionieren auf die gleiche Weise wie die "normalen" trigonometrischen "Cousins", beziehen sich jedoch nicht auf einen Einheitskreis (z #sin, cos and tan#) beziehen sich auf eine Reihe von Hyperbeln.

(Bildquelle: Physicsforums.com)

Du kannst schreiben:
#tanh(x)=(e^x-e^(-x))/(e^x+e^-x)#

Aus der Regel des Quotienten lässt sich nun ableiten, dass:
Ableitung von #e^x# is #e^x# und
Ableitung von #e^-x# is #-e^-x#

Also hast du:
#d/dxtanh(x)=[(e^x+e^-x)(e^x+e^-x)-(e^x-e^-x)(e^x-e^-x)]/(e^x+e^-x)^2#
#=1-((e^x-e^-x)^2)/(e^x+e^-x)^2=1-tanh^2(x)#