Wie lange dauert es, bis 25% der C-14-Atome in einer C-14-Probe zerfallen?

Beginnen mit der Gleichung:

#Q(t) = Q(0)(1/2)^(t/t_"half-life")" [1]"#

Schweife für eine Weile ab und verwende die Formel für #Delta%#

#Delta% = 100(NewValue-OldValue)/(OldValue)#

Ersatz #Delta% = -25%, NewValue = Q(t), and OldValue = Q(0)#

#-25% = 100(Q(t)-Q(0))/(Q(0))#

Teilen Sie beide Seiten durch 100:

#-0.25= (Q(t)-Q(0))/(Q(0))#

In zwei Fraktionen trennen:

#-0.25= (Q(t))/(Q(0))-(Q(0))/(Q(0))#

Der zweite Bruch wird zu -1:

#-0.25 = (Q(t))/(Q(0)) - 1#

Fügen Sie 1 auf beiden Seiten hinzu:

#(Q(t))/(Q(0)) = 0.75" [2]"#

Teilen Sie beide Seiten der Gleichung [1] durch #Q(0)#:

#(Q(t))/(Q(0))=(1/2)^(t/t_"half-life")" [1.1]"#

Ersetze Gleichung [2] in Gleichung [1.1]

#0.75=(1/2)^(t/t_"half-life")" [1.2]"#

Verwenden Sie den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten:

#ln(0.75)=ln((1/2)^(t/t_"half-life"))" [1.2]"#

Verwenden Sie die Eigenschaft von Logarithmen #ln(a^c) = (c)ln(a)#:

#ln(0.75)=(t/t_"half-life")ln(1/2)" [1.3]"#

#t = t_"half-life"ln(0.75)/ln(1/2)" [1.4]"#

Ersatz #t_"half-life" = 5730" yrs"# in Gleichung [1.4]:

#t = (5730" yrs")ln(0.75)/ln(1/2)" [1.5]"#

#t = 2378" yrs"#

Wenn eine Probe von C-14 anfänglich 1.5 Millimol C-14 enthält, wie viele Millimol verbleiben nach 2255 Jahren?

#Q(2255" yrs") = (1.5xx10^-3" mol")(1/2)^((2255" yrs")/(5730" yrs")#

#Q(2255" yrs") = 1.14" millimol"#

Schreiben: #cos^4x = cos^3x*cosx# und nach Teilen integrieren:

#int cos^4xdx = int cos^3x cosx dx = int cos^3x d(sinx)#

#int cos^4xdx = sinxcos^3x - int sinx d(cos^3x)#

#int cos^4xdx = sinxcos^3x + 3int sin^2x cos^2xdx#

Verwenden Sie nun die Identität:

#sin^2x = 1-cos^2x#

#int cos^4xdx = sinxcos^3x + 3int (1-cos^2x) cos^2xdx#

#int cos^4xdx = sinxcos^3x + 3int cos^2x dx -3int cos^4xdx#

Wir haben jetzt auf beiden Seiten das gleiche Integral und können es lösen:

#4 int cos^4xdx = sinxcos^3x + 3int cos^2x dx #

# int cos^4xdx = (sinxcos^3x)/4 + 3/4int cos^2x dx #

Mit dem gleichen Verfahren:

#int cos^2x dx = int cosxd(sinx) = cosxsinx + int sin^2xdx#

#int cos^2x dx = int cosxd(sinx) = cosxsinx + int (1-cos^2x)dx#

#int cos^2x dx = int cosxd(sinx) = cosxsinx + x - int cos^2xdx#

#int cos^2x dx = (cosxsinx)/2 + x/2#

Ersetzen im obigen Ausdruck:

# int cos^4xdx = (sinxcos^3x)/4 + 3/8(cosxsinx) + 3/8x#