Bestimmtes vs. unbestimmtes Integral

Ein bestimmtes Integral enthält eine Spezifikation der Menge von Werten, über die das Integral berechnet werden soll. Als Ergebnis hat es einen bestimmten Wert, z. B. die Fläche unter einer Kurve in einem bestimmten Intervall.

Im Gegensatz dazu gibt ein unbestimmtes Integral nicht die Menge von Werten an, über die das Integral berechnet werden soll. Es identifiziert im Wesentlichen, wie die Antiderivativfunktion aussieht, einschließlich einer zu bestimmenden Integrationskonstante. Beispielsweise:

#int x^2 dx = 1/3 x^3 + C#

Nicht-elementare Integrale von Elementarfunktionen

Im Gegensatz zu Derivaten ist das Integral einer Elementarfunktion nicht unbedingt elementar. Der Ausdruck "Elementarfunktion" bezeichnet Funktionen, die unter Verwendung von Grundrechenarten konstruiert sind. #n#th Wurzeln, trigonometrische, hyperbolische, exponentielle und Logarithmen.

Es gibt einige sehr nützliche nicht-elementare Funktionen, die als Integrale von elementaren Funktionen ausgedrückt werden können. Zum Beispiel die Gamma-Funktion:

#Gamma(x) = int_0^oo t^(x-1) e^(-t) dt#

Die Gamma-Funktion erweitert die Definition von Fakultät auf Werte, die von nicht negativen ganzen Zahlen abweichen.

Pole und Cauchy Hauptwert

Wenn eine Funktion eine Singularität wie einen einfachen Pol hat, ist ihr bestimmtes Integral über einen Bereich, der diesen Pol enthält, nicht automatisch genau definiert. Eine Problemumgehung für solche Fälle bietet der Cauchy-Hauptwert.

Beispielsweise:

#int_(-1)^1 dt/t = lim_(epsilon -> 0+) (int_(-1)^-epsilon dt/t + int_epsilon^1 dt/t) = 0#

Nicht messbare Mengen

Wenn die Menge, über die Sie zu integrieren versuchen, nicht messbar ist, ist das Integral normalerweise nicht definiert. Eine Ausnahme wäre, wenn der Wert der Funktion in dieser Menge Null wäre.

Um eine nicht messbare Menge zu konstruieren, verwenden Sie normalerweise das Axiom Ihrer Wahl.

Sie können beispielsweise eine Äquivalenzbeziehung für definieren #RR# von:

#a ~ b <=> (a-b) " is rational"#

Diese Äquivalenzbeziehung wird unterteilt #RR# in eine unzählige Unendlichkeit von zählbaren Mengen.

Verwenden Sie das Axiom der Wahl, um genau ein Element jeder Äquivalenzklasse auszuwählen und eine Teilmenge zu erstellen #S sub RR#.

Für jede rationale Zahl #x#können wir definieren #S_x# bestehen aus den Elementen von #S# versetzt um #x#. Dann die Sets #S_x : x in QQ# bilden eine Partition von #RR# in eine zählbare Unendlichkeit von Teilmengen.

Wir können eine nicht integrierbare Funktion definieren, indem wir:

#f(t) = { (1 " if " t in S_x " where " x = p/q " in lowest terms and " q " is even"), (0 " otherwise") :}#

Diese Funktion ist in keinem Intervall integrierbar.