Die Antwort ist: #y'=1*lnx+x*1/x=lnx+1#.

Dies liegt daran, dass der Satz der Produktableitung (Produktregel) lautet:

#y=f(x)*g(x)rArry'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)# woher

#f(x)=x#

#f'(x)=1#

#g(x)=lnx#

#g'(x)=1/x#

Wenn Sie nach einem strengen Beweis suchen, tut es mir leid - ich bin nicht gut darin. Ich bin sicher, dass ein anderer sokratischer Mitwirkender wie George C. etwas Solideres tun könnte als ich; Ich werde Ihnen nur erklären, warum diese Identität funktioniert.

Schauen Sie sich das folgende Diagramm an:

Es ist ein generisches rechtwinkliges Dreieck mit einem #90^o# Winkel wie durch das Kästchen und einen spitzen Winkel angegeben #a#. Wir kennen die Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck, und ein Dreieck im Allgemeinen muss dazu addieren #180^o#Also, wenn wir einen Winkel von haben #90# und ein Winkel von #a#muss unser anderer Winkel sein #90-a#:
#(a)+(90-a)+(90)=180#
#180=180#

Wir können sehen, dass die Winkel in unserem Dreieck tatsächlich dazu beitragen #180#Damit sind wir auf dem richtigen Weg.

Fügen wir nun einige Variablen für die Seitenlänge in unser Dreieck ein.

Die Variable #s# steht für die Hypotenuse, #l# steht für Länge und #h# steht für Höhe.

Wir können jetzt mit dem saftigen Teil beginnen: dem Beweis.

Beachten Sie, dass #sina#, das als Gegenteil definiert ist (#h#) geteilt durch Hypotenuse (#s#), gleich #h/s# im Diagramm:
#sina=h/s#

Beachten Sie auch, dass der Cosinus des oberen Winkels, #90-a#, entspricht der angrenzenden Seite (#h#) geteilt durch die Hypotenuse (#s#):
#cos(90-a)=h/s#

Also, wenn #sina=h/s#, und #cos(90-a)=h/s#...

Dann #sina# muss gleich sein #cos(90-a)#!
#sina=cos(90-a)#

Und Boom, Beweis abgeschlossen.