Coleen – Die Kluge Eule https://dieklugeeule.com Wed, 12 Feb 2020 16:35:23 +0000 de-DE hourly 1 https://wordpress.org/?v=6.0.2 https://dieklugeeule.com/wp-content/uploads/2022/04/cropped-logo-smal-2-32x32.jpg Coleen – Die Kluge Eule https://dieklugeeule.com 32 32 Was ist das Integral von # 1 / (1 + x ^ 2) #? https://dieklugeeule.com/was-ist-das-integral-von-1-1-x-2/ Wed, 12 Feb 2020 16:35:23 +0000 https://dieklugeeule.com/?p=142 Was ist das Integral von # 1 / (1 + x ^ 2) #?

Antworten:

#int1/(1+x^2)dx=tan^-1x+C#

Erläuterung:

#color(blue)(int(du)/(1+u^2)=tan^-1u+C##rarr# Woher #u# ist eine Funktion von #x#

#color(red)("Proof:")#

#int(du)/(1+u^2)#

Integration durch trigonometrische Substitution

#u=tantheta##rarr##du=sec^2thetad(theta)#

#int(du)/(1+u^2)=int(sec^2thetad(theta))/(1+tan^2theta#

#color(green)(sec^2theta=1+tan^2theta#

#int(sec^2thetad(theta))/(1+tan^2theta)=int((cancel(1+tan^2theta))d(theta))/cancel(1+tan^2theta)#

#=intd(theta)=theta#

Vertausche die Ersetzung

#u=tantheta##color(red)(rarr##theta=tan^-1u#

#therefore int(du)/(1+u^2)=tan^-1u+C#

Einfach durch Ersetzen in dieser Beziehung

#int(dx)/(1+x^2)=tan^-1x+C#

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